Determine a probabilidade P_{N} de que pelo menos 2 de N estudantes façam anos no mesmo dia. Qual é o resultado para N=10 ? Qual deveria ser o número mínimo N_{\text {min }} para que a probabilidade de pelo menos dois estudantes fazerem anos no mesmo dia seja superior a 1 / 2 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade P_{N} de que, em um grupo de N estudantes, pelo menos dois façam aniversário no mesmo dia. Este é um problema clássico de probabilidade que usa o princípio do complemento e assume que há 365 dias no ano, todos igualmente prováveis e independentes.

Passo 2

Para ter pelo menos dois aniversariantes no mesmo dia, é mais fácil calcular primeiro a probabilidade complementar, ou seja, a de nenhum par compartilhar aniversário. Se os aniversários são todos distintos, o número de maneiras é
365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times (365 - N + 1)
e o total de formas possíveis é 365^N. Logo, a probabilidade de todos terem dias distintos é
P_{\text{dist}}(N) = \frac{365 \times 364 \times \cdots \times (365 - N + 1)}{365^N} = \frac{365!}{(365-N)!\,365^N}.

Passo 3

Portanto, a probabilidade buscada é
P_{N} = 1 - P_{\text{dist}}(N) = 1 - \frac{365!}{(365-N)!\,365^N}.

Passo 4

Para N=10, computamos
P_{\text{dist}}(10) = \prod_{k=0}^{9}\frac{365 - k}{365} \approx 0{,}883 \quad\Longrightarrow\quad P_{10} = 1 - 0{,}883 \approx 0{,}117.

Passo 5

Buscamos o menor N tal que P_{N} > \tfrac12. Conhece-se que para N=22 tem-se P_{22}\approx0{,}476 e para N=23 tem-se P_{23}\approx0{,}507. Logo,
N_{\text{min}} = 23.

Resposta

Para N=10, P_{10}\approx0{,}117.
O menor N com P_{N} > \tfrac12 é N_{\text{min}} = 23.

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