Questão 2. Dos produtos defeituosos produzidos por uma indústria, 1 / 4 apresenta falha estrutural, enquanto 1 / 3 apresenta falha na superfície. Determine a probabilidade de ter falha estrutural e não ter falha na superfície nos seguintes casos:
a) Ter falha estrutural e ter falha na superfície são eventos independentes.
b) Todos os produtos defeituosos que tem falha estrutural têm falha na superficie.
c) Dentre os produtos defeituosos que não tem falha na superfície, a probabilidade de não ter falha estrutural é 1 / 5

Passo 1

O enunciado define os eventos: A = “falha estrutural” e B = “falha na superfície”, com
P(A)=\tfrac14 \quad\text{e}\quad P(B)=\tfrac13.
Queremos calcular
P\bigl(A\cap \lnot B\bigr)
em três situações diferentes: (a) A e B independentes, (b) A\subseteq B, (c) dado P(\lnot A\mid \lnot B)=\tfrac15.

Passo 2

Caso (a): se A e B são independentes, então
P\bigl(A\cap \lnot B\bigr) = P(A)\,P(\lnot B) = P(A)\,\bigl(1 - P(B)\bigr).
Substituindo P(A)=\tfrac14 e P(B)=\tfrac13, vem
P\bigl(A\cap \lnot B\bigr) = \tfrac14 \cdot \bigl(1 - \tfrac13\bigr) = \tfrac14 \cdot \tfrac23 = \tfrac16.

Passo 3

Caso (b): “todos os produtos com falha estrutural têm falha na superfície” significa A\subseteq B. Então não há produto que seja estrutural sem ser de superfície, ou seja
P\bigl(A\cap \lnot B\bigr)=0.

Passo 4

Caso (c): sabe-se que
P\bigl(\lnot A\mid \lnot B\bigr)=\tfrac15.
Por definição de probabilidade condicional,
P\bigl(\lnot A\cap \lnot B\bigr) = P\bigl(\lnot A\mid \lnot B\bigr)\,P(\lnot B) = \tfrac15 \cdot \bigl(1 - \tfrac13\bigr) = \tfrac15 \cdot \tfrac23 = \tfrac{2}{15}.
Como
P(\lnot B)=P\bigl(A\cap \lnot B\bigr) + P\bigl(\lnot A\cap \lnot B\bigr)=\tfrac23,
segue que
P\bigl(A\cap \lnot B\bigr) = P(\lnot B) - P\bigl(\lnot A\cap \lnot B\bigr) = \tfrac23 - \tfrac{2}{15} = \tfrac{10}{15} - \tfrac{2}{15} = \tfrac{8}{15}.

Resposta

a) \tfrac16
b) 0
c) \tfrac{8}{15}

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