Determine a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron se o estado estiver acima do nível de Fermi por:
a. k T
Use a distribuição de Fermi-Dirac: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a distribuição de Fermi–Dirac
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}},
onde:
  • E é a energia do estado que estamos examinando;
  • E_{F} é o nível de Fermi (energia de referência);
  • k é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta.
    O problema pede a probabilidade de ocupação quando o estado está acima do nível de Fermi por kT. Ou seja, devemos avaliar f(E) para
E = E_{F} + kT.

Passo 2

Substituímos E = E_{F} + kT na fórmula e simplificamos o expoente:
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left((E_{F}+kT)-E_{F}\right)/kT}}=\frac{1}{1+e^{\,kT/kT}}=\frac{1}{1+e^{1}}.

Passo 3

Agora calculamos numericamente. Primeiro lembramos que e\approx 2,7182818. Então
1+e\approx 1+2,7182818=3,7182818.
Tomando o recíproco:
\frac{1}{1+e}\approx\frac{1}{3,7182818}\approx0,2689414.
Arredondando comumente, fica 0,2689 (ou cerca de 26{,}9\%).

Passo 4

Interpretação física e observação didática: a função de Fermi–Dirac dá a probabilidade de um estado quântico estar ocupado por um elétron à temperatura T. Quando E=E_{F} tem-se f=1/2. Para energias muito maiores que E_{F} (isto é, \left(E-E_{F}\right)\gg kT) a distribuição pode ser aproximada pela aproximação de Boltzmann
f(E)\approx e^{-(E-E_{F})/kT}.
No caso aqui \left(E-E_{F}\right)/kT=1, que não é grande, por isso a aproximação de Boltzmann daria e^{-1}\approx0,3679, que superestima a ocupação em comparação com o valor exato de Fermi–Dirac \approx0,2689. Isso mostra que a aproximação exponencial só é boa quando o deslocamento em unidades de kT é bem maior que 1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1+e}\approx0,2689

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