Determine a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron se o estado estiver acima do nível de Fermi por:
a.
Use a distribuição de Fermi-Dirac:
.
a.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a distribuição de Fermi–Dirac
onde:
-
é a energia do estado que estamos examinando; -
é o nível de Fermi (energia de referência); -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura absoluta.
O problema pede a probabilidade de ocupação quando o estado está acima do nível de Fermi por. Ou seja, devemos avaliar para
Passo 2
Substituímos
na fórmula e simplificamos o expoente:
Passo 3
Agora calculamos numericamente. Primeiro lembramos que
. Então
Tomando o recíproco:
Arredondando comumente, fica
(ou cerca de
).
Passo 4
Interpretação física e observação didática: a função de Fermi–Dirac dá a probabilidade de um estado quântico estar ocupado por um elétron à temperatura
. Quando
tem-se
. Para energias muito maiores que
(isto é,
) a distribuição pode ser aproximada pela aproximação de Boltzmann
No caso aqui
, que não é grande, por isso a aproximação de Boltzmann daria
, que superestima a ocupação em comparação com o valor exato de Fermi–Dirac
. Isso mostra que a aproximação exponencial só é boa quando o deslocamento em unidades de
é bem maior que 1.