Determine a probabilidade de que entre 5 pessoas selecionadas aleatoriamente:
a) nenhum par tenha a mesma data de aniversário. Resposta: 0,973
b) pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário. Resposta: 0,027

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade envolvendo aniversários de 5 pessoas escolhidas ao acaso, supondo que cada dia do ano (365 dias) é igualmente provável e independente. Vamos calcular:
  • (a) a probabilidade de nenhum par compartilhar a mesma data de aniversário.
  • (b) a probabilidade de pelo menos duas pessoas terem a mesma data de aniversário.

Passo 2

Para (a), usamos o princípio de contagem em probabilidade: o espaço amostral total tem 365^5 atribuições de datas para 5 pessoas. Para que nenhum par coincida, a 1.ª pessoa pode nascer em qualquer dos 365 dias, a 2.ª em qualquer dos 364 dias restantes, e assim por diante. Logo, a probabilidade é
P(\text{nenhum par}) = \frac{365 \times 364 \times 363 \times 362 \times 361}{365^5}.

Passo 3

Agora fazemos a aproximação numérica:
\frac{365 \times 364 \times 363 \times 362 \times 361}{365^5} \approx 0,973.

Passo 4

Para (b), o evento “pelo menos duas pessoas com a mesma data” é o complementar de “nenhum par”. Então
P(\text{pelo menos dois iguais}) = 1 - P(\text{nenhum par}) = 1 - 0,973 = 0,027.

Resposta

a) 0,973
b) 0,027

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