Em uma turma 60 \% dos estudantes são homens e 40 \% mulheres. Além disso, sabe-se que 1 \% dos homens e 4 \% das mulheres tem menos de 1,60 \mathrm{~m}. Dado que um estudante com menos de 1,60 \mathrm{~m} foi sorteado aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher? Resposta: 0,727

Passo 1

O enunciado nos diz que numa turma há 60\% de homens e 40\% de mulheres, e que 1\% dos homens e 4\% das mulheres medem menos de 1,60 m. Queremos a probabilidade de ser mulher dado que o estudante sorteado mede menos de 1,60 m. O conteúdo aqui é probabilidade condicional e Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
H: “o estudante é homem”, com \mathbb P(H)=0,60.
M: “o estudante é mulher”, com \mathbb P(M)=0,40.
B: “o estudante mede menos de 1,60 m”, com \mathbb P(B\mid H)=0,01 e \mathbb P(B\mid M)=0,04.

Passo 3

Usamos a lei da probabilidade total para calcular \mathbb P(B):
\mathbb P(B) =\mathbb P(B\mid H)\,\mathbb P(H) +\mathbb P(B\mid M)\,\mathbb P(M) =0,01\cdot0,60+0,04\cdot0,40 =0,006+0,016 =0,022.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Bayes para obter \mathbb P(M\mid B):
\mathbb P(M\mid B) =\frac{\mathbb P(B\mid M)\,\mathbb P(M)}{\mathbb P(B)} =\frac{0,04\cdot0,40}{0,022} =\frac{0,016}{0,022} =\frac{16}{22} =\frac{8}{11}\approx0,727.

Resposta

A probabilidade de ser mulher, dado que mede menos de 1,60 m, é aproximadamente 0,727 (ou 8/11).

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