Determine as probabilidades indicadas usando a distribuição geométrica, a de Poisson ou a binomial. Depois, determine se os eventos são incomuns. Se for conveniente, utilize uma tabela ou tecnologia para encontrar as probabilidades.
Vinte por cento dos adultos americanos têm algum tipo de doença mental. Você seleciona aleatoriamente seis adultos americanos. Determine a probabilidade de que o número desses seis adultos americanos que têm algum tipo de doença mental seja (a) exatamente dois, (b) pelo menosume (c) menos que três. (Fonte: U.S. Department of Health and Human Services.)

Passo 1

O enunciado diz que cada adulto tem probabilidade p=0,2 de ter doença mental, e escolhemos n=6 adultos de forma independente. Logo a variável aleatória X = “número de adultos com doença mental” segue uma distribuição binomial de parâmetros n=6 e p=0,2.
A fórmula geral é
P(X=k)=binom6k(0,2)^k(0,8)^6-k
Também usaremos a regra do complemento P(X>=1)=1-P(X=0) e somas de probabilidades para obter eventos como “pelo menos um” ou “menos que três”.

Passo 2

Calcular P(X=2):
P(X=2)=binom62(0,2)^2(0,8)^4 =15times0,04times0,4096 =0,24576approx0,2458

Passo 3

Calcular P(X>=1) por complementar P(X=0):
P(X=0)=(0,8)^6=0,262144,
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P(X>=1)=1-P(X=0)=1-0,262144=0,737856approx0,7379

Passo 4

Calcular P(X<3)=P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2). Já temos P(X=0)=0,262144 e P(X=2)=0,24576. Falta
P(X=1)=binom61(0,2)(0,8)^5 =6times0,2times0,32768 =0,393216
Assim
P(X<=2)=0,262144+0,393216+0,24576=0,90112approx0,9011

Passo 5

Um evento é considerado “incomum” se sua probabilidade for <=0,05 ou >=0,95.
Aqui temos
;P(X=2)approx0,2458,;P(X>=1)approx0,7379,;P(X<3)approx0,9011,
todas entre 0,05 e 0,95. Logo nenhum desses eventos é incomum.

Resposta

(a) P(X=2)approx0,2458 – não é incomum.
(b) P(X>=1)approx0,7379 – não é incomum.
(c) P(X<3)approx0,9011 – não é incomum.

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