Determine o produto vetorial entre dois vetores num sistema de coordenadas oblíquo. Determine as componentes covariantes e contravariantes desse produto.

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial
C = AtimesB
entre dois vetores em um sistema de base oblíqua ,ei.
Conteúdo: tensor métrico gij=eicdotej, base recíproca e^i definida por e^icdotej=de<a^ij, e o símbolo de Levi-Civita generalizado. Para resolver, vamos (i) construir o símbolo epsilonijk e seu contravariável epsilon^ijk, (ii) achar as componentes contravariantes C^i e (iii) as covariantes Ci.

Passo 2

Definimos a base e a base recíproca
A=A^iei,
B=B^iei,
com métrico
gij=eicdotej,
determinante g=det(gij)>0, e
e^i tal que
e^icdotej=de<a^ij.
As componentes covariantes de A são Ai=gijA^j, e similarmente Bi.

Passo 3

O símbolo de Levi-Civita com índices baixos é
epsilonijk =raizg,[i,j,k],
onde [i,j,k] é o símbolo de Levi-Civita puro ( +1,-1 ou 0).
O símbolo com índices altos é
epsilon^ijk =1raizg,[i,j,k]
Elevando ou abaixando índices obedece
epsilonij^k=g^kellepsilonijell,
epsilon^ijk=g^iellepsilonell jk, etc.

Passo 4

O produto vetorial se expande em função dos vetores-base:
AtimesB =A^iB^jl(eitimesejr) =A^iB^j,epsilonij^k,ek
Logo as componentes contravariantes de C=AtimesB são
C^k =epsilonij^k,A^iB^j =g^kell,epsilonell ij,A^iB^j
Usando epsilon^kij=(1/raizg)[k,i,j] e Ai=gimA^m, Bj=gjnB^n, podemos também escrever
C^k =epsilon^kij,Ai,Bj =1raizg,[k,i,j],Ai,Bj

Passo 5

Para obter as componentes covariantes, abaixamos o índice:
Ck =gkellC^ell =gkell,epsilonij^ell,A^iB^j =epsilonkij,A^iB^j,
onde epsilonkij=raizg,[k,i,j]. Em termos de componentes mistas de A e B temos
Ck =raizg,[k,i,j],A^i,B^j

Resposta

As fórmulas gerais para C=AtimesB são:
boxedC^k =epsilonij^k,A^iB^j =1raizg,[k,i,j],Ai,Bj,
boxedCk =epsilonkij,A^iB^j =raizg,[k,i,j],A^i,B^j

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