Determine o produto vetorial entre dois vetores num sistema de coordenadas oblíquo. Determine as componentes covariantes e contravariantes desse produto.
Passo 1
O enunciado pede o produto vetorial
entre dois vetores em um sistema de base oblíqua .
Conteúdo: tensor métrico , base recíproca
definida por
, e o símbolo de Levi-Civita generalizado. Para resolver, vamos (i) construir o símbolo
e seu contravariável
, (ii) achar as componentes contravariantes
e (iii) as covariantes
.
entre dois vetores em um sistema de base oblíqua
Conteúdo: tensor métrico
Passo 2
Definimos a base e a base recíproca
,
,
com métrico
com métrico
determinante
, e
tal que
.
As componentes covariantes de são
, e similarmente
.
As componentes covariantes de
Passo 3
O símbolo de Levi-Civita com índices baixos é
onde
é o símbolo de Levi-Civita puro (
ou
).
O símbolo com índices altos é
O símbolo com índices altos é
Elevando ou abaixando índices obedece
,
, etc.
Passo 4
O produto vetorial se expande em função dos vetores-base:
Logo as componentes contravariantes de
são
Usando
e
,
, podemos também escrever
Passo 5
Para obter as componentes covariantes, abaixamos o índice:
onde
. Em termos de componentes mistas de
e
temos
Resposta
As fórmulas gerais para
são: