Mostre as seguintes propriedades:
Se
possui raio de convergência
, então
tem derivadas de todas as ordens, para
e
Se
Passo 1
O enunciado diz que
tem raio de convergência
. O que vamos usar é o teorema que garante que, para toda
com
, a série converge uniformemente em
e, portanto, pode ser derivada termo a termo em
. Como
é arbitrário em
, segue-se que
é
em
.
Passo 2
Vamos derivar termo a termo para obter
. Para
temos
e a convergência permanece uniforme. Logo,
Reindexando com
(isto é,
), obtemos
Passo 3
Para
derivamos novamente termo a termo:
de modo que
Reindexando com
(
) resulta
Passo 4
Para a
-ésima derivada usamos indução. Suponha que
Derivando termo a termo,
Reindexando com
(
) fica
Isso fecha a indução e mostra que para todo
Passo 5
Finalmente, como a derivação termo a termo não altera o raio de convergência, todas as séries acima convergem para
, provando que
é
em
e satisfaz as fórmulas pedidas.
Resposta
Mostrou-se que, para
e todo
,