Mostre as seguintes propriedades:
Se g(x)=sumn=0^infty an x^n possui raio de convergência r>0, então g(x) tem derivadas de todas as ordens, para |x|<r e
g^prime(x) & =sumn=1^infty n an x^n-1=sumn=0^infty(n+1) an+1 x^n g^prime prime(x) & =sumn=2^infty(n-1) n an x^n-2=sumn=0^infty(n+1)(n+2) an+2 x^n g^(k)(x) & =sumn=k^infty(n-k+1) cdots(n-1) n an x^n-k=sumn=0^infty(n+1)(n+2) cdots(n+k-1) an+k x^n

Passo 1

O enunciado diz que
g(x)=sumn=0^inftyanx^n
tem raio de convergência r>0. O que vamos usar é o teorema que garante que, para toda R com 0<R<r, a série converge uniformemente em x:|x|<= R e, portanto, pode ser derivada termo a termo em |x|<R. Como R é arbitrário em (0,r), segue-se que g é C^infty em |x|<r.

Passo 2

Vamos derivar termo a termo para obter g'(x). Para |x|<= R<r temos
ddxl(anx^nr)=n,anx^n-1,
e a convergência permanece uniforme. Logo,
g'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1
Reindexando com m=n-1 (isto é, n=m+1), obtemos
g'(x)=summ=0^infty(m+1),am+1x^m

Passo 3

Para g''(x) derivamos novamente termo a termo:
ddxl(n,anx^n-1r)=n(n-1),anx^n-2,
de modo que
g''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Reindexando com m=n-2 ( n=m+2) resulta
g''(x)=summ=0^infty(m+1)(m+2),am+2x^m

Passo 4

Para a k-ésima derivada usamos indução. Suponha que
g^(k)(x)=sumn=k^infty(n-k+1)cdots n;an,x^n-k
Derivando termo a termo,
g^(k+1)(x) =sumn=k^infty(n-k+1)cdots n;l(n-kr),an,x^n-k-1 =sumn=k+1^infty(n-k)cdots n;an,x^n-k-1
Reindexando com m=n-k-1 ( n=m+k+1) fica
g^(k+1)(x) =summ=0^infty(m+1)cdots(m+k+1);am+k+1,x^m
Isso fecha a indução e mostra que para todo k>=1
g^(k)(x) =sumn=k^infty(n-k+1)cdots n;an,x^n-k =sumn=0^infty(n+1)cdots(n+k);an+k,x^n

Passo 5

Finalmente, como a derivação termo a termo não altera o raio de convergência, todas as séries acima convergem para |x|<r, provando que g é C^infty em |x|<r e satisfaz as fórmulas pedidas.

Resposta

Mostrou-se que, para |x|<r e todo k>=1,
g^(k)(x) =sumn=k^infty(n-k+1)cdots n;an,x^n-k =sumn=0^infty(n+1)(n+2)cdots(n+k);an+k,x^n

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