Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
3. a=2 j-4 k, b=-i+3 j+k

Passo 1

O enunciado dá os vetores a=2j-4k e b=-i+3j+k e pede o produto vetorial atimesb e a verificação de que esse produto é ortogonal a a e a b. O conteúdo usado será a definição de produto vetorial via determinante e a propriedade de ortogonalidade via produto escalar igual a zero.

Passo 2

Escrevemos os vetores em componentes segundo as bases i,j,k:
a=(0,2,-4) e b=(-1,3,1).

Passo 3

Usamos a fórmula do determinante 3times 3 para o produto vetorial:
atimesb =det i & j & k 0 & 2 & -4 -1 & 3 & 1

Passo 4

Calculamos cada componente:
i-componente: 2cdot1-(-4)cdot3=2+12=14.
j-componente: -(0cdot1-(-4)cdot(-1))=-(0-4)=4.
k-componente: 0cdot3-2cdot(-1)=2.
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atimesb =14,i+4,j+2,k

Passo 5

Verificamos a ortogonalidade com a calculando o produto escalar:
(atimesb)cdota =14cdot0+4cdot2+2cdot(-4)=0+8-8=0

Passo 6

Verificamos a ortogonalidade com b calculando
(atimesb)cdotb =14cdot(-1)+4cdot3+2cdot1=-14+12+2=0

Resposta

atimesb=14,i+4,j+2,k, e esse vetor é ortogonal a a e a b.

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