Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
a=t i+cos t j+t k, b=i-t j+cos t k

Passo 1

O enunciado dá
a = t, i + cos t, j + t, k
e
b = 1, i - t, j + cos t, k.
Queremos calcular a times b usando a regra do determinante de 3times3.

Passo 2

Para o componente em i temos
( a times b)1 = det cos t & t -,t & cos t = cos tcdotcos t ;-; tcdot(-t) = cos^2 t + t^2

Passo 3

Para o componente em j temos
( a times b)2 = -det t & t 1 & cos t = -l(tcdotcos t - tcdot1r) = t - tcos t

Passo 4

Para o componente em k temos
( a times b)3 = det t & cos t 1 & -,t = tcdot(-t) ;-; cos tcdot1 = -,t^2 - cos t

Passo 5

Montando o vetor,
a times b = (cos^2 t + t^2), i + (t - tcos t), j + (-,t^2 - cos t), k

Passo 6

Verificamos agora a ortogonalidade. Primeiro
acdot( atimes b) = t(cos^2 t + t^2) + cos t,(t - tcos t) + t(-,t^2 - cos t) = 0
Em seguida
bcdot( atimes b) = 1(cos^2 t + t^2) + (-t)(t - tcos t) + cos t(-,t^2 - cos t) = 0

Resposta

a times b = (cos^2 t + t^2), i + (t - tcos t), j + (-,t^2 - cos t), k,
e de fato acdot( atimes b)=0 e
bcdot( atimes b)=0, logo o produto vetorial é ortogonal a a e a b.

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