Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
a=12 i+13 j+14 k, b=i+2 j-3 k

Passo 1

O enunciado pede para determinar o produto vetorial atimesb e verificar que ele é ortogonal a a e a b. O conteúdo usado será a definição do produto vetorial via determinante e a propriedade de ortogonalidade, conferida por produto escalar.

Passo 2

Usamos a definição por determinante:
atimesb = i & j & k tfrac12 & tfrac13 & tfrac14 1 & 2 & -3
Expandindo pela primeira linha, obtemos:
atimesb = i,l(tfrac13cdot(-3)-tfrac14cdot2r) -j,l(tfrac12cdot(-3)-tfrac14cdot1r) +k,l(tfrac12cdot2-tfrac13cdot1r)

Passo 3

Agora simplificamos cada componente:
tfrac13cdot(-3)-tfrac14cdot2=-1-tfrac12=-tfrac32,
tfrac12cdot(-3)-tfrac14cdot1=-tfrac32-tfrac14=-tfrac74,
tfrac12cdot2-tfrac13cdot1=1-tfrac13=tfrac23
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atimesb =-tfrac32,i +tfrac74,j +tfrac23,k

Passo 4

Verificamos ortogonalidade com a calculando o produto escalar:
acdot(atimesb) =tfrac12l(-tfrac32r) +tfrac13l(tfrac74r) +tfrac14l(tfrac23r) =-tfrac34+tfrac712+tfrac212 =-tfrac912+tfrac912=0

Passo 5

Verificamos ortogonalidade com b:
bcdot(atimesb) =1l(-tfrac32r) +2l(tfrac74r) +(-3)l(tfrac23r) =-tfrac32+tfrac72-2 = -tfrac32+tfrac72-tfrac42 =tfrac42-tfrac42=0

Resposta

atimesb =-tfrac32,i +tfrac74,j +tfrac23,k,
e de fato atimesb é ortogonal a a e a b.

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