Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
a=t i+cos t j+sin t k, b=i-sin t j+cos t k

Passo 1

O enunciado dá os vetores
a=t,i+cos t,j+sin t,k e
b=i-sin t,j+cos t,k
e pede o produto vetorial atimesb em R^3 e a verificação de que ele é ortogonal a a e a b. Vamos usar a definição de produto vetorial via determinante e depois testar os produtos escalares.

Passo 2

O produto vetorial em R^3 pode ser calculado pelo determinante
atimesb = i & j & k t & cos t & sin t 1 & -sin t & cos t

Passo 3

Calculando os cofatores do determinante, obtemos:
componente em i:
cos tcdotcos t ;-;sin tcdot(-sin t) = cos^2 t + sin^2 t = 1;
componente em j (atentar ao sinal negativo):
- l(tcdotcos t ;-;sin tcdot1r) = -l(tcos t - sin tr) = sin t - tcos t;
componente em k:
tcdot(-sin t);-;cos tcdot1 = -,tsin t - cos t
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atimesb = i + l(sin t - tcos tr),j + l(-,tsin t - cos tr),k

Passo 4

Verificação de ortogonalidade com a:
acdot(atimesb) = tcdot1 + cos tl(sin t - tcos tr) + sin tl(-tsin t - cos tr)
Expandindo,
= t + cos tsin t - tcos^2 t - tsin^2 t - sin tcos t = t - t(cos^2 t + sin^2 t) = t - t = 0

Passo 5

Verificação de ortogonalidade com b:
bcdot(atimesb) = 1cdot1 + (-sin t)l(sin t - tcos tr) + cos tl(-tsin t - cos tr)
Expandindo,
= 1 - sin^2 t + tsin tcos t - tsin tcos t - cos^2 t = 1 - (sin^2 t + cos^2 t) = 1 - 1 = 0

Resposta

atimesb = i + l(sin t - tcos tr),j + l(-,tsin t - cos tr),k,
e de fato atimesb é ortogonal tanto a a quanto a b.

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