Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
d) a=j+7 k, b=2 i-j+4 k

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o produto vetorial atimesb em R^3 e depois mostre que esse vetor resultante é ortogonal tanto a a quanto a b. Vamos usar a definição de produto vetorial via determinante e depois produto escalar para verificar ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro identifiquemos as componentes de cada vetor na base (i,j,k):
a=0,i+1,j+7,ksquigarrow(ax,ay,az)=(0,1,7) b=2,i-1,j+4,ksquigarrow(bx,by,bz)=(2,-1,4)
Então
atimesb = i & j & k 0 & 1 & 7 2 & -1 & 4

Passo 3

Calculamos cada componente do determinante:
Para i:
ay,bz - az,by = 1cdot4 - 7cdot(-1) = 4 + 7 = 11
Para j (lembre do sinal negativo):
-l(ax,bz - az,bxr) = -l(0cdot4 - 7cdot2r) = -l(0 -14r) = 14
Para k:
ax,by - ay,bx = 0cdot(-1) - 1cdot2 = -2
Logo
atimesb = 11,i + 14,j - 2,k

Passo 4

Agora verificamos ortogonalidade por produto escalar. Primeiro com a:
acdot(atimesb) = (0,1,7)cdot(11,14,-2) =0cdot11 + 1cdot14 + 7cdot(-2) =14 -14 =0
Em seguida com b:
bcdot(atimesb) =(2,-1,4)cdot(11,14,-2) =2cdot11 + (-1)cdot14 + 4cdot(-2) =22 -14 -8 =0
Produtos escalares nulos significam vetores ortogonais.

Resposta

atimesb=11,i+14,j-2,k, e de fato acdot(atimesb)=bcdot(atimesb)=0, mostrando que o resultado é ortogonal a a e b.

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