Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
f) a=<t, 1,1 / t>, b=<t^2, t^2, 1>

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos
a = lang<= t,1,tfrac1trang<= e b = lang<= t^2,t^2,1rang<=.
O objetivo é calcular atimesb usando a fórmula do determinante e depois mostrar que esse vetor é ortogonal a a e a b conferindo que os produtos escalares são zero.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
atimesb = l(a2b3 - a3b2,; a3b1 - a1b3,; a1b2 - a2b1r)
Aqui
a2b3 = 1cdot1 = 1,
a3b2 = tfrac1tcdot t^2 = t,
a3b1 = tfrac1tcdot t^2 = t,
a1b3 = tcdot1 = t,
a1b2 = tcdot t^2 = t^3,
a2b1 = 1cdot t^2 = t^2.
Logo,
atimesb = (1 - t,; t - t,; t^3 - t^2) = lang<= 1 - t,;0,;t^2(t - 1)rang<=

Passo 3

Para verificar ortogonalidade com a, fazemos o produto escalar
(atimesb)cdot a = (1 - t),t + 0cdot1 + t^2(t - 1),tfrac1t = t - t^2 + t(t - 1) = t - t^2 + t^2 - t = 0
Portanto atimesbperpa.

Passo 4

Para verificar ortogonalidade com b, calculamos
(atimesb)cdot b = (1 - t),t^2 + 0cdot t^2 + t^2(t - 1)cdot1 = t^2 - t^3 + t^2(t - 1) = t^2 - t^3 + t^3 - t^2 = 0
Logo atimesbperpb.

Resposta

boxedatimesb = lang<= 1 - t,;0,;t^2(t - 1)rang<=,
e de fato esse vetor é ortogonal a a e a b.

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