Se o volume do paralelepípedo for zero, os vetores são coplanares. Utilizando o produto misto mostre que os vetores u=i+5 j-2 k, v=3 i-j e w=5 i+9 j-4 k são coplanares.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que os vetores u=i+5j-2k, v=3i-j e w=5i+9j-4k são coplanares. Para isso usamos o produto misto
[u,v,w] ;=;ucdot(vtimesw),
que é igual ao volume (com sinal) do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Se esse valor for zero, os vetores são coplanares.

Passo 2

Escrevemos as componentes dos vetores:
u = (1,,5,,-2), v = (3,,-1,,0), w = (5,,9,,-4)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial vtimesw usando o determinante
vtimesw = i & j & k 3 & -1 & 0 5 & 9 & -4 = l((-1)(-4)-0cdot9r)i - l(3(-4)-0cdot5r)j + l(3cdot9-(-1)cdot5r)k
Logo,
vtimesw = (4,;12,;32)

Passo 4

Agora o produto misto é
ucdot(vtimesw) = (1,5,-2)cdot(4,12,32) =1cdot4 + 5cdot12 + (-2)cdot32 =4 + 60 - 64 =0
Como o produto misto é zero, o volume do paralelepípedo é zero.

Resposta

Os vetores são coplanares pois ucdot(vtimesw)=0.

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