Determine os produtos a seguir.
a- √10×⁵√12׳√30
b- ⁸√5×⁶√5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o produto de algumas expressões que envolvem raízes com índices diferentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra, onde precisamos manipular potências e raízes. Para resolver, vamos transformar as raízes em potências com expoentes fracionários e então simplificar os produtos.

Passo 2

Vamos resolver a parte a): raiz10 times raiz[5]12 times raiz[3]30.
Primeiro, vamos reescrever cada raiz com expoentes fracionários:
raiz10 = 10^1/2, raiz[5]12 = 12^1/5, raiz[3]30 = 30^1/3
Agora, temos o produto:
10^1/2 times 12^1/5 times 30^1/3
Para simplificar, podemos tentar combinar esses termos. No entanto, como os expoentes têm denominadores diferentes (2, 5 e 3), não há uma forma direta de simplificar sem calcular valores aproximados. Portanto, o produto pode ser deixado na forma de potências multiplicadas:
10^1/2 times 12^1/5 times 30^1/3

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte b): raiz[8]5 times raiz[6]5.
Primeiro, reescrevemos as raízes como potências fracionárias:
raiz[8]5 = 5^1/8, raiz[6]5 = 5^1/6
Como as bases são iguais (ambas 5), podemos somar os expoentes:
5^1/8 times 5^1/6 = 5^1/8 + 1/6
Para somar os expoentes, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 8 e 6 é 24:
1/8 = 3/24, 1/6 = 4/24
Então:
5^3/24 + 4/24 = 5^7/24
E isso pode ser reescrito como uma raiz:
5^7/24 = raiz[24]5^7

Resposta

a) O produto é 10^1/2 times 12^1/5 times 30^1/3.
b) O produto simplificado é raiz[24]5^7.

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