Nos EUA, em anos recentes, a população pode ser modelada pela função exponencial p(t) = 205.(1,0068)t, na qual p é a população (em milhões) e t é o tempo em anos, com t = 0 correspondendo a 1970. Em que ano a população ultrapassa a casa dos 300 milhões de pessoas?
a. 1914
b. 1970
c. 1956
d. 2000
e. 2026

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre a população dos EUA ao longo do tempo, usando uma função exponencial. A função dada é $ p(t) = 205 \cdot (1,0068)^t $, onde $ p $ é a população em milhões e $ t $ é o tempo em anos, começando em 1970 (ou seja, $ t = 0 $ corresponde a 1970). A pergunta quer saber em que ano a população vai passar de 300 milhões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função exponencial. Nesse caso, $ p(t) $ representa a população em um ano específico, e a base $ 1,0068 $ indica a taxa de crescimento anual. A fórmula geral de uma função exponencial é $ p(t) = p_0 \cdot (1 + r)^t $, onde $ p_0 $ é a população inicial e $ r $ é a taxa de crescimento.

Passo 3

Queremos saber quando $ p(t) $ ultrapassa 300 milhões. Então, vamos montar a equação:
p(t)

Passo 4

Nosso objetivo é resolver essa equação para $ t $. Primeiro, vamos isolar $ (1,0068)^t $:
t
(1,0068)^t

Passo 5

Agora, para resolver para $ t $, vamos usar o logaritmo. Lembrando que $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
t
ln(a^b) = b cdot ln(a)

Passo 6

Agora, isolamos $ t $:
t
Vamos calcular os valores:
t = ln(1,463)ln(1,0068)
ln(1,463) approx 0,379
Então,
ln(1,0068) approx 0,00678
t approx 0,3790,00678

Passo 7

Como $ t $ representa os anos após 1970, arredondamos para o ano inteiro mais próximo:
t

Resposta

A população ultrapassa os 300 milhões de pessoas no ano 2026.

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