Seja U subset R^3 subespaço vetorial gerado por (1,0,1) e (1,1,0).
Considerando o produto interno lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==2 x1 x2+y1 y2+ z1 z2 em R^3, encontre uma base para U^perp.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço UsubsetR^3 gerado pelos vetores (1,0,1) e (1,1,0) e define o produto interno
lang<=(x1,y1,z1),,(x2,y2,z2)rang<==2x1x2+y1y2+z1z2
Precisamos encontrar uma base de U^perp=vinR^3:lang<= v,urang<==0;forall uin U.

Passo 2

Seja v=(x,y,z). As condições de ortogonalidade a (1,0,1) e (1,1,0) são
lang<= v,(1,0,1)rang<==2xcdot1+ycdot0+zcdot1=2x+z=0,
lang<= v,(1,1,0)rang<==2xcdot1+ycdot1+zcdot0=2x+y=0

Passo 3

Do sistema
2x+z=0, 2x+y=0
vem
y=-2x, z=-2x
Logo qualquer vin U^perp é da forma
(x,y,z)=x,(1,-2,-2)

Passo 4

Como x é escalar livre, (1,-2,-2) gera U^perp e é linearmente independente.

Resposta

Uma base de U^perp é (1,-2,-2).

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