Determine a projeção ortogonal da origem sobre a reta interseção dos planos \pi_{1}: x+y+z=1 e \pi_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\\ y=1+\mu \\\ z=1+\lambda+\mu\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de O=(0,0,0)\) sobre a reta que é a interseção dos planos
\(\pi_{1}:x+y+z=1\) e
\(\pi_{2}:\begin{cases}x=1+\lambda\y=1+\mu\z=1+\lambda+\mu\end{cases}.
O conteúdo que vamos usar é a projeção de um ponto em uma reta no \mathbb{R}^3: achamos primeiro um ponto e um vetor diretor da reta, e depois aplicamos a fórmula de projeção vetorial.
Passo 2
Para achar a reta de interseção, impomos a condição de \pi_{1} nas coordenadas paramétricas de \pi_{2}: