Determine a projeção ortogonal da origem sobre a reta interseção dos planos \pi_{1}: x+y+z=1 e \pi_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\\ y=1+\mu \\\ z=1+\lambda+\mu\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de O=(0,0,0)\) sobre a reta que é a interseção dos planos \(\pi_{1}:x+y+z=1\) e \(\pi_{2}:\begin{cases}x=1+\lambda\y=1+\mu\z=1+\lambda+\mu\end{cases}.
O conteúdo que vamos usar é a projeção de um ponto em uma reta no \mathbb{R}^3: achamos primeiro um ponto e um vetor diretor da reta, e depois aplicamos a fórmula de projeção vetorial.

Passo 2

Para achar a reta de interseção, impomos a condição de \pi_{1} nas coordenadas paramétricas de \pi_{2}:
(1+\lambda)+(1+\mu)+(1+\lambda+\mu)=1.
Isso dá
3+2(\lambda+\mu)=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda+\mu=-1.

Passo 3

Escolhendo \lambda=t e \mu=-1-t, obtemos
x=1+t,\quad y=1+(-1-t)=-t,\quad z=1+t+(-1-t)=0.
Logo a reta é
r(t)=(1+t,\,-t,\,0)=(1,0,0)+t\,(1,-1,0).
Um ponto na reta é A=(1,0,0) e o vetor diretor é v=(1,-1,0).

Passo 4

A projeção de O sobre essa reta é
P = A + t_{0}\,v, \quad t_{0}=\frac{(O-A)\cdot v}{v\cdot v}.
Aqui O-A=(-1,0,0), então
(O-A)\cdot v = -1,\quad v\cdot v = 1^2+(-1)^2+0^2 =2, \quad t_{0} = -\tfrac12.
Portanto
P = (1,0,0) + \bigl(-\tfrac12\bigr)\,(1,-1,0) = \bigl(1-\tfrac12,\;0+\tfrac12,\;0\bigr) = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr).

Resposta

\bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr)

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