Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aplicado será cálculo de determinante para verificar invertibilidade e, em seguida, uso da matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) para obter A^{-1}.

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =(-1)\cdot3 - 1\cdot1 = -4,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} =(-1)\cdot3 - 1\cdot0 = -3,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1 -(-1)\cdot0 = -1.
Logo,
\det(A) = 1\cdot(-4) - 2\cdot(-3) + 1\cdot(-1) = -4 + 6 - 1 = 1.

Passo 3

Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível. Agora vamos construir a matriz de cofatores C = (C_{ij}), depois transpor para obter a adjunta \operatorname{adj}(A).

Passo 4

Calculemos os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente:
C_{11} = \det\!\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = -4, \quad C_{12} = -\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = -(-3)=3, \quad C_{13} = \det\!\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -1,
C_{21} = -\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = -(6-1)=-5, \quad C_{22} = \det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = 3, \quad C_{23} = -\det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -(1-0)=-1,
C_{31} = \det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = 2\cdot1 -1\cdot(-1)=3, \quad C_{32} = -\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = -(1+1)=-2, \quad C_{33} = \det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & -1\end{pmatrix} = -1+2=1.

Passo 5

A matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} -4 & 3 & -1\\\\ -5 & 3 & -1\\\\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 3\\\\ 3 & 3 & -2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, temos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 3\\\\ 3 & 3 & -2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 3\\\\ 3 & 3 & -2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

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