Obtenha uma equação vetorial da reta t, que passa pelo ponto P=(2,-1,1) e é concorrente com as retas reversas r:\left\{\begin{array}{c}x+z=5 \\\ x+2 z=9\end{array}\right. s: \left\{\begin{array}{c}2 x-z+1=0 \\\ y-2 z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a reta t\) que passa por \(P=(2,-1,1)\) e intersecta simultaneamente as retas \[r:\begin{cases} x+z=5,\\\ x+2z=9, \end{cases} \quad s:\begin{cases} 2x - z +1=0,\\\ y - 2z=1. \end{cases}
O conteúdo é encontrar a direção \vec v=(a,b,c)\] de \(t impondo que existam parâmetros \lambda e \mu tais que
P+\lambda\vec v\in r, \qquad P+\mu\vec v\in s.

Passo 2

Escrevemos um ponto genérico de t como
A(\lambda)=P+\lambda\vec v =(\,2+\lambda a,\;-1+\lambda b,\;1+\lambda c\,).
Para A(\lambda) pertencer a r, ele deve satisfazer
(2+\lambda a)+(1+\lambda c)=5, \quad (2+\lambda a)+2(1+\lambda c)=9.
Isso gera as equações
3+\lambda(a+c)=5 \quad\Rightarrow\quad \lambda\,(a+c)=2, \tag{1}
4+\lambda(a+2c)=9 \quad\Rightarrow\quad \lambda\,(a+2c)=5. \tag{2}

Passo 3

Das equações (1) e (2) eliminamos \lambda. Multiplicando (1) por (a+2c) e (2) por (a+c) e subtraindo, obtemos
2(a+2c)-5(a+c)=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+4c-5a-5c=0 \quad\Rightarrow\quad 3a+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-3a.

Passo 4

Agora impomos que
B(\mu)=P+\mu\vec v =(\,2+\mu a,\;-1+\mu b,\;1+\mu c\,)
esteja em s. As equações de s geram
2(2+\mu a)-(1+\mu c)+1=0 \quad\Rightarrow\quad 4+2\mu a-1-\mu c+1=0 \quad\Rightarrow\quad \mu(2a-c)=-4, \tag{3}
-1+\mu b-2(1+\mu c)=1 \quad\Rightarrow\quad -3+\mu(b-2c)=1 \quad\Rightarrow\quad \mu(b-2c)=4. \tag{4}
Substituindo c=-3a em (3) \mu\cdot5a=-4, ou \mu=-4/(5a). Em seguida, em (4):
\frac{-4}{5a}\bigl(b-2(-3a)\bigr)=4 \quad\Rightarrow\quad -4(b+6a)=20a \quad\Rightarrow\quad b=-11a.

Passo 5

Escolhemos a=1 para simplificar. Assim
\vec v=(a,b,c)=(1,-11,-3).
A reta t em forma vetorial é
\mathbf r:\; \bigl(x,y,z\bigr) =(\,2,-1,1\,)+t\,(1,-11,-3), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A equação vetorial da reta t é
(x,y,z)=(2,-1,1)+t\,(1,-11,-3).

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