Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{rrr}2 & 5 & -1 \\\\ 4 & 8 & 2 \\\\ 0 & 4 & -9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1\\\\ 4 & 8 & 2\\\\ 0 & 4 & -9 \end{pmatrix}.
O conteúdo é inversão de matrizes via cofatores: vamos calcular \det(A) para checar se existe inversa e, em seguida, formar a matriz de cofatores, obter a adjunta (transposta dos cofatores) e multiplicar por 1/\det(A).

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}8 & 2\\\ 4 & -9\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 0 & -9\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}4 & 8\\\ 0 & 4\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}8 & 2\\\ 4 & -9\end{pmatrix} =8\cdot(-9)-2\cdot4=-72-8=-80,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 0 & -9\end{pmatrix} =4\cdot(-9)-2\cdot0=-36,
\det\begin{pmatrix}4 & 8\\\ 0 & 4\end{pmatrix} =4\cdot4-8\cdot0=16.
Logo
\det(A)=2\,( -80)-5\,(-36)-1\,(16) =-160+180-16=4\neq0,
portanto A é invertível.

Passo 3

Formemos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{11}=\det\begin{pmatrix}8 & 2\\\ 4 & -9\end{pmatrix}=-80, \quad C_{12}=-\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 0 & -9\end{pmatrix}=36, \quad C_{13}=\det\begin{pmatrix}4 & 8\\\ 0 & 4\end{pmatrix}=16,
C_{21}=-\det\begin{pmatrix}5 & -1\\\ 4 & -9\end{pmatrix}=41, \quad C_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & -9\end{pmatrix}=-18, \quad C_{23}=-\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 0 & 4\end{pmatrix}=-8,
C_{31}=\det\begin{pmatrix}5 & -1\\\ 8 & 2\end{pmatrix}=18, \quad C_{32}=-\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 2\end{pmatrix}=-8, \quad C_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 4 & 8\end{pmatrix}=-4.
Assim
C=\begin{pmatrix} -80 & 36 & 16\\\\ 41 & -18 & -8\\\\ 18 & -8 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T} =\begin{pmatrix} -80 & 41 & 18\\\\ 36 & -18 & -8\\\\ 16 & -8 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -80 & 41 & 18\\\\ 36 & -18 & -8\\\\ 16 & -8 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 & \tfrac{41}{4} & \tfrac{9}{2}\\\\ 9 & -\tfrac{9}{2} & -2\\\\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\begin{pmatrix} -20 & \frac{41}{4} & \frac{9}{2}\\\\ 9 & -\frac{9}{2} & -2\\\\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

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