Encontre os comprimentos dos lados do triângulo PQR. Ele é um triângulo retângulo? É isóceles?
P & =(3,-2,-3), Q=(7,0,1), R=(1,2,1) PQ & =6, QR=2 raiz10, RP=6

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço
P=(3,-2,-3), Q=(7,0,1), R=(1,2,1)
e pede os comprimentos dos lados do triângulo PQR e se ele é retângulo ou isósceles.
Para isso vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
se A=(x1,y1,z1),;B=(x2,y2,z2) então AB=raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2 ã

Passo 2

Calcular PQ. Primeiro o vetor
PQ=Q-P=(7-3,;0-(-2),;1-(-3))=(4,2,4).
Logo
PQ=|PQ| =raiz4^2+2^2+4^2 =raiz16+4+16 =raiz36 =6

Passo 3

Calcular QR. O vetor
QR=R-Q=(1-7,;2-0,;1-1)=(-6,2,0).
Logo
QR=|QR| =raiz(-6)^2+2^2+0^2 =raiz36+4+0 =raiz40 =2raiz10

Passo 4

Calcular RP. O vetor
RP=P-R=(3-1,;-2-2,;-3-1)=(2,-4,-4).
Logo
RP=|RP| =raiz2^2+(-4)^2+(-4)^2 =raiz4+16+16 =raiz36 =6

Passo 5

Verificar se é triângulo retângulo. Num triângulo retângulo valeria
alguma a^2+b^2=c^2
Aqui os quadrados dos comprimentos são
6^2=36,(2raiz10)^2=40,6^2=36
Nenhuma soma de dois desses dá o terceiro (por exemplo 36+36=72neq40, etc.), logo não é retângulo.

Passo 6

Verificar se é isósceles. Dois lados são iguais se tiverem o mesmo comprimento. Como
PQ=6 e RP=6,
temos dois lados iguais, logo o triângulo é isósceles.

Resposta

Os comprimentos são
PQ=6, QR=2raiz10, RP=6
O triângulo não é retângulo e é isósceles.

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