Determine a projeção ortogonal u=projU v do elemento v =(1,2,3,4) sobre os seguintes subespaços U de R^4.
  1. U=[(1,1,1,1),(1,1,1,0)].
  2. U=[(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)].

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(1,2,3,4) sobre dois subespaços UsubsetR^4.
Conteúdo: projeção em subespaço gerado por vetores não ortonormais.
Ferramenta: se A tem como colunas uma base de U, então
projU v ;=; A,(A^T A)^-1A^T v

Passo 2

Para o item 1, escolhemos
u1=(1,1,1,1), u2=(1,1,1,0),
e montamos A=[,u1;u2,]. Calculamos a matriz de Gram e seu inverso:
A^T A = lang<= u1,u1rang<=&lang<= u1,u2rang<= lang<= u2,u1rang<=&lang<= u2,u2rang<= =4&33&3, (A^T A)^-1=133&-3-3&4
Em seguida,
A^T v =lang<= u1,vrang<=lang<= u2,vrang<= =106,
logo os coeficientes cin R^2 que satisfazem A^T A,c=A^T v são
c=(A^T A)^-1A^T v =133&-3-3&4106 =4-2

Passo 3

Construindo a projeção:
projU v =4,u1+(-2),u2 =4(1,1,1,1)-2(1,1,1,0) =(2,2,2,4)

Passo 4

No item 2, os vetores
(1,1,1,1),,(1,1,1,0),,(1,1,0,0),,(1,0,0,0)
são linearmente independentes em R^4 e formam base de R^4. Logo U= R^4 e
projU v = v = (1,2,3,4)

Resposta

(1) (2,2,2,4)
(2) (1,2,3,4)

Exercícios relacionados