Seja B=(1,0,0),(0, raiz22, raiz22),(0,-raiz22, raiz22) uma base ortonormal de R^3. Considere
A=[ccc 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22 ]
  • Verifique que A é matriz ortogonal.
  • Determine a expressão da isometria T tal que [T]B=A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base ortonormal
B=lv1=(1,0,0),;v2=(0,tfracraiz22,tfracraiz22),;v3=(0,-tfracraiz22,tfracraiz22)r
e a matriz
A= 1 & 0 & 0 0 & tfracraiz22 & tfracraiz22 0 & -tfracraiz22 & tfracraiz22
que representa uma transformação linear T:R^3toR^3 em relação à base B.
Conteúdo: matrizes ortogonais e isometrias em R^3.
Objetivo:
1. Verificar que A é ortogonal, i.e.\ A^T A=I.
2. Encontrar a fórmula de T em coordenadas canônicas (x,y,z).

Passo 2

Para mostrar que A é ortogonal basta ver que suas colunas formam um sistema ortonormal em R^3.
1. A primeira coluna é (1,0,0), de norma 1.
2. As colunas 2 e 3 têm norma
l(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2=1
e produto interno
0cdot0+tfracraiz22cdotl(-tfracraiz22r) +tfracraiz22cdottfracraiz22 =-tfrac12+tfrac12=0
3. As colunas 1 e 2, e 1 e 3, são obviamente perpendiculares.
Logo as colunas são ortonormais e A^T A=I, ou seja, A é ortogonal.

Passo 3

Como [T]B=A, temos
T(vi)=sumj=1^3 Aj i,vj
Chamando a=tfracraiz22, obtemos
T(v1)=1cdot v1=(1,0,0), T(v2)=a,v2 - a,v3, T(v3)=a,v2 + a,v3
Isto mostra que T deixa v1 fixo e roda o plano spanv2,v3.

Passo 4

Para achar T em coordenadas canônicas, escrevemos o vetor genérico
,(x,y,z)
como combinação dos vi, aplicamos T e voltamos à base canônica. O mais rápido é notar que v1=e1 e que v2,v3 são as direções dos eixos y,z rotacionados em 45^circ. Com isso chega-se à fórmula
T(x,y,z) =l(x,;a(y+z),;a(z-y)r) =l(x,;tfracy+zraiz2,;tfrac,z-y,raiz2r)

Resposta

A) A é ortogonal pois A^TA=I.
B) A isometria é a rotação em torno do eixo x de ângulo -tfracpi4, dada por
T(x,y,z) =l(x,;tfracy+zraiz2,;tfracz-yraiz2r)

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