Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum
). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i)
.
(ii)
.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
, tal que
para todo
.
(iv) Para cada
existe um único vetor
tal que
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
.
(viii)
.
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
.
(vii) e (viii) conectam + com
.
Descreva um subespaço de
que não contém matrizes diagonais não nulas.
(i)
(ii)
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
(iv) Para cada
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
(vii) e (viii) conectam + com
Descreva um subespaço de
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva um subespaço de
(o espaço de todas as matrizes de tamanho fixo, digamos
) que não contenha nenhuma matriz diagonal não nula. O que precisamos usar é a definição de subespaço: um subconjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Uma escolha natural é considerar o conjunto de todas as matrizes cuja diagonal principal é formada apenas por zeros. Mais precisamente, definimos
Em outras palavras,
é o conjunto de todas as matrizes com entradas zero na diagonal.
Passo 3
Vamos verificar que
é de fato um subespaço de
:
- A matriz zero
tem todas as entradas nulas, logo suas entradas diagonais são zero, isto é, . - Se
, então para todo temos e . Ao somar, . Logo . - Se
e é escalar qualquer, então . Logo .
Isso mostra que
satisfaz os axiomas de subespaço (contém zero, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar).
Passo 4
Agora, por que em
não há nenhuma matriz diagonal não nula? Suponha, por absurdo, que exista
que seja diagonal e não nula. Sendo
diagonal, suas únicas entradas potencialmente não nulas são
. Mas como
, temos
para todo
. Logo todas as entradas de
seriam zero, isto é,
seria a matriz zero, contradizendo a hipótese de ela ser não nula. Portanto, não há matriz diagonal não nula em
.
Resposta
O subespaço
não contém nenhuma matriz diagonal não nula.