Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
Descreva um subespaço de M que não contém matrizes diagonais não nulas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva um subespaço de M (o espaço de todas as matrizes de tamanho fixo, digamos ntimes n) que não contenha nenhuma matriz diagonal não nula. O que precisamos usar é a definição de subespaço: um subconjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Uma escolha natural é considerar o conjunto de todas as matrizes cuja diagonal principal é formada apenas por zeros. Mais precisamente, definimos
U = lAinMmid Aii=0 para todo i=1,2,dots,nr
Em outras palavras, U é o conjunto de todas as matrizes com entradas zero na diagonal.

Passo 3

Vamos verificar que U é de fato um subespaço de M:
  1. A matriz zero 0 tem todas as entradas nulas, logo suas entradas diagonais são zero, isto é, 0in U.
  2. Se A,Bin U, então para todo i temos Aii=0 e Bii=0. Ao somar, (A+B)ii=Aii+Bii=0+0=0. Logo A+Bin U.
  3. Se Ain U e c é escalar qualquer, então (cA)ii=ccdot Aii=ccdot0=0. Logo cAin U.
Isso mostra que U satisfaz os axiomas de subespaço (contém zero, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar).

Passo 4

Agora, por que em U não há nenhuma matriz diagonal não nula? Suponha, por absurdo, que exista Din U que seja diagonal e não nula. Sendo D diagonal, suas únicas entradas potencialmente não nulas são D11,D22,dots,Dnn. Mas como Din U, temos Dii=0 para todo i. Logo todas as entradas de D seriam zero, isto é, D seria a matriz zero, contradizendo a hipótese de ela ser não nula. Portanto, não há matriz diagonal não nula em U.

Resposta

O subespaço
U = AinMmid Aii=0 para todo i
não contém nenhuma matriz diagonal não nula.

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