Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum ). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores e a multiplicação por escalar devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) .
(ii) .
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por , tal que para todo .
(iv) Para cada existe um único vetor tal que .
(v) .
(vi) .
(vii) .
(viii) .
(i) a (iv) são propriedades da “adição” .
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” .
(vii) e (viii) conectam + com .
Descreva um subespaço de que contém mas não B=[cc0 & 0 0 & -1].
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos em M, o espaço vetorial de todas as matrizes 2times2 reais, e queremos encontrar um subespaço SsubseteqM que satisfaça
A=1&00&0in S,
B=0&00&-1notin S.
Passo 2
Lembrando os critérios para S ser subespaço de M:
0in S.
Se X,Yin S então X+Yin S.
Se Xin S e cinR então cXin S.
Passo 3
Uma escolha simples é forçar que o elemento na posição seja sempre zero. Definimos
Passo 4
Verificação de que S é subespaço:
A matriz zero 0&00&0 tem (2,2)-entrada igual a zero, logo está em S.
Se M,Nin S, então M22=0 e N22=0. Logo (M+N)22=M22+N22=0+0=0, então M+Nin S.
Se cinR e Min S, então (cM)22=ccdot M22=ccdot0=0, logo cMin S.