Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
Descreva um subespaço de M que contém A=[ll1 & 0 0 & 0] mas não B=[cc0 & 0 0 & -1].

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos em M, o espaço vetorial de todas as matrizes 2times2 reais, e queremos encontrar um subespaço SsubseteqM que satisfaça
  1. A=1&00&0in S,
  2. B=0&00&-1notin S.

Passo 2

Lembrando os critérios para S ser subespaço de M:
  1. 0in S.
  2. Se X,Yin S então X+Yin S.
  3. Se Xin S e cinR então cXin S.

Passo 3

Uma escolha simples é forçar que o elemento na posição seja sempre zero. Definimos

Passo 4

Verificação de que S é subespaço:
  • A matriz zero 0&00&0 tem (2,2)-entrada igual a zero, logo está em S.
  • Se M,Nin S, então M22=0 e N22=0. Logo (M+N)22=M22+N22=0+0=0, então M+Nin S.
  • Se cinR e Min S, então (cM)22=ccdot M22=ccdot0=0, logo cMin S.

Passo 5

Verificação dos pontos pedidos:
  • Para A, temos A22=0, então Ain S.
  • Para B, temos B22=-1neq0, então Bnotin S.

Resposta

Uma descrição de subespaço que funciona é

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