Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum
). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i)
.
(ii)
.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
, tal que
para todo
.
(iv) Para cada
existe um único vetor
tal que
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
.
(viii)
.
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
.
(vii) e (viii) conectam + com
.
Se um subespaço de
contém
e
, ele deve conter
?
(i)
(ii)
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
(iv) Para cada
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
(vii) e (viii) conectam + com
Se um subespaço de
Passo 1
O enunciado pergunta: em
, o espaço vetorial de todas as matrizes (por exemplo) sobre um corpo, seja
um subespaço que contém duas matrizes
e
. Queremos saber se
é obrigado a conter a matriz identidade
.
Passo 2
Pela definição de subespaço, se
e
estão em
, então para quaisquer escalares
temos
Passo 3
Em particular, com essa propriedade vemos que
contém o vetor nulo (tome
) e também
(tome
), mas em nenhum momento aparece multiplicação de matrizes nem inverso de
ou
.
Passo 4
Para que
estivesse em
, precisaríamos que existissem escalares
e
tais que
Não há nenhum axioma de espaço vetorial que garanta isso para matrizes genéricas
e
.
Resposta
Não. Um subespaço que contém
e
só é obrigado a conter todas as combinações lineares
; ele conterá
somente se existir uma combinação linear de
e
que produza
.