Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
Se um subespaço de M contém A e B, ele deve conter I ?

Passo 1

O enunciado pergunta: em M, o espaço vetorial de todas as matrizes (por exemplo) sobre um corpo, seja Vsubseteq M um subespaço que contém duas matrizes A e B. Queremos saber se V é obrigado a conter a matriz identidade I.

Passo 2

Pela definição de subespaço, se A e B estão em V, então para quaisquer escalares c,d temos
c,A + d,B ;in; V

Passo 3

Em particular, com essa propriedade vemos que V contém o vetor nulo (tome c=d=0) e também A-B (tome c=1,d=-1), mas em nenhum momento aparece multiplicação de matrizes nem inverso de A ou B.

Passo 4

Para que I estivesse em V, precisaríamos que existissem escalares c e d tais que
c,A + d,B = I
Não há nenhum axioma de espaço vetorial que garanta isso para matrizes genéricas A e B.

Resposta

Não. Um subespaço que contém A e B só é obrigado a conter todas as combinações lineares cA + dB; ele conterá I somente se existir uma combinação linear de A e B que produza I.

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