Verifque quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 :
todos os vetores da forma ( a ; b ; c ), com a+b+c=1.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W = (a,b,c)inR^3 mid a + b + c = 1
e pede para verificar se W é subespaço de R^3. Vamos usar a definição de subespaço vetorial.

Passo 2

Um subconjunto UsubsetR^3 é subespaço se satisfaz três condições:
  1. 0=(0,0,0)in U.
  2. Para quaisquer u,vin U, tem-se u+vin U.
  3. Para todo escalar lambdainR e todo uin U, tem-se lambda uin U.

Passo 3

Teste do vetor zero:
O vetor 0=(0,0,0) tem soma das coordenadas
0 + 0 + 0 = 0 neq 1,
logo 0notin W. Como falha a primeira condição, já podemos concluir que W não é subespaço.

Passo 4

Para reforçar, verificamos as fechaduras:
Se u=(a1,b1,c1) e v=(a2,b2,c2) estão em W, então
a1+b1+c1 = 1 e a2+b2+c2 = 1
Mas a soma u+v tem soma de coordenadas
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2) = 2 neq 1,
logo u+vnotin W. Similarmente, para lambda=2,
2u = (2a1,2b1,2c1)
tem soma 2neq1, logo 2unotin W. Falha nas fechaduras de soma e multiplicação.

Resposta

O conjunto W não é subespaço de R^3.

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