Determine a projeção ortogonal do vetor (1,1,0,-1) in R^4 sobre o subespaço vetorial W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z=0 e x-2 t=0.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(1,1,0,-1) sobre o subespaço
W=(x,y,z,t)inR^4mid x - y - z = 0,;x - 2t = 0
O conteúdo aqui é projeção ortogonal em R^n. Vamos precisar (1) encontrar uma base de W e (2) usar o sistema de equações normais para determinar a combinação linear que dá a projeção.

Passo 2

Resolvendo as restrições de W:
;x - y - z = 0implies x=y+z,
;x - 2t = 0implies y+z=2timplies t=(y+z)/2
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(x,y,z,t)=(y+z,y,z,tfracy+z2) =y,(1,1,0,tfrac12)+z,(1,0,1,tfrac12)
Uma base de W é
u1=(1,1,0,tfrac12), u2=(1,0,1,tfrac12)

Passo 3

Escrevemos a projeção p como
p = a,u1 + b,u2,
e exigimos que v-p seja ortogonal a u1 e u2. Isso gera o sistema normal
lang<= u1,vrang<= = a,lang<= u1,u1rang<= + b,lang<= u1,u2rang<=,
lang<= u2,vrang<= = a,lang<= u2,u1rang<= + b,lang<= u2,u2rang<=

Passo 4

Calculamos os produtos internos:
lang<= u1,u1rang<= = 1+1+0+tfrac14=tfrac94, lang<= u2,u2rang<= = 1+0+1+tfrac14=tfrac94,
lang<= u1,u2rang<= =1+0+0+tfrac14=tfrac54, lang<= u1,vrang<= =1+1+0-tfrac12=tfrac32, lang<= u2,vrang<= =1+0+0-tfrac12=tfrac12
O sistema fica, multiplicando tudo por 4,
9a+5b=6, 5a+9b=2
Resolvendo, obtemos
a=tfrac1114, b=-tfrac314

Passo 5

Substituindo em p=a u1 + b u2:
p=tfrac1114(1,1,0,tfrac12)-tfrac314(1,0,1,tfrac12) =tfrac114(8,11,-3,4) =(tfrac814,tfrac1114,-tfrac314,tfrac414) =(tfrac47,tfrac1114,-tfrac314,tfrac27)

Resposta

projW(1,1,0,-1)=114(8,11,-3,4)

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