Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
, onde
é uma isometria
Passo 1
O enunciado diz que temos espaços métricos
e
e uma aplicação
que é isometria, ou seja, para quaisquer
vale
Como
preserva distâncias e é injetora, ela define bijeção de
em
. O objetivo é mostrar que a inversa
também mantém distâncias, ou seja, que é isometria.
Passo 2
Vamos lembrar que, por ser bijetora de
em
, a inversa
está bem definida em
, equipado com a métrica herdada de
. Para verificar a propriedade de isometria, tomamos dois pontos quaisquer
e queremos ver se
Passo 3
Seja
e
. Então
e
. Aplicando a definição de isometria de
, obtemos
Isso mostra que
também preserva distâncias entre quaisquer
.
Passo 4
Portanto,
satisfaz a definição de isometria no espaço
e, assim, é uma isometria.