Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
T^-1, onde T é uma isometria

Passo 1

O enunciado diz que temos espaços métricos (X,dX) e (Y,dY) e uma aplicação
Tcolon X to Y
que é isometria, ou seja, para quaisquer x1,x2in X vale
dYl(T(x1),T(x2)r) = dX(x1,x2)
Como T preserva distâncias e é injetora, ela define bijeção de X em T(X). O objetivo é mostrar que a inversa
T^-1colon T(X)to X
também mantém distâncias, ou seja, que é isometria.

Passo 2

Vamos lembrar que, por ser bijetora de X em T(X), a inversa T^-1 está bem definida em T(X), equipado com a métrica herdada de Y. Para verificar a propriedade de isometria, tomamos dois pontos quaisquer u,vin T(X) e queremos ver se
dXl(T^-1(u),T^-1(v)r) = dY(u,v)

Passo 3

Seja x = T^-1(u) e y = T^-1(v). Então T(x)=u e T(y)=v. Aplicando a definição de isometria de T, obtemos
dY(u,v) = dYl(T(x),T(y)r) = dX(x,y) = dXl(T^-1(u),T^-1(v)r)
Isso mostra que T^-1 também preserva distâncias entre quaisquer u,vin T(X).

Passo 4

Portanto, T^-1 satisfaz a definição de isometria no espaço T(X) e, assim, é uma isometria.

Resposta

T^-1 é isometria.

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