Sejam u=(1,-2,1) e v=(0,1,-1) vetores no espaço. Encontre escalares alpha e beta tais que alpha u+beta v=(3,3,-6).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (3,3,-6) como combinação linear dos vetores u=(1,-2,1) e v=(0,1,-1).
Isso cai em conteúdo de sistemas lineares: igualamos componente a componente para encontrar os escalares alpha e beta.

Passo 2

Igualando componente a componente, temos
alpha,(1,-2,1)+beta,(0,1,-1)=(3,3,-6)
o que gera o sistema
alpha = 3, -2alpha + beta = 3, alpha - beta = -6

Passo 3

Da primeira equação vem diretamente
alpha = 3
Substituindo em -2alpha + beta = 3, obtemos
-2cdot 3 + beta = 3 Longrightarrow beta = 3 + 6 = 9

Passo 4

Para garantir consistência, verificamos a terceira equação:
alpha - beta = 3 - 9 = -6,
que bate com o lado direito. Logo o sistema é consistente.

Resposta

alpha = 3, beta = 9.

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