(1,5) Determine a projeção ortogonal do vetor u=(3,4) sobre a reta gerada pelo vetor v=(2,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor u=(3,4) sobre a reta gerada por v=(2,1). Isso faz parte de Álgebra Linear e requer usar o produto interno e a fórmula
\mathrm{proj}_{v}(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.

Passo 2

Calcular o produto interno \langle u,v\rangle:
\langle u,v\rangle = 3\cdot 2 + 4\cdot 1 = 6 + 4 = 10.

Passo 3

Calcular o produto interno de v consigo mesmo, que é a norma ao quadrado:
\langle v,v\rangle = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5.

Passo 4

Determinar o escalar que multiplica v:
\alpha = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle} = \frac{10}{5} = 2.

Passo 5

Multiplicar o escalar \alpha pelo vetor v para obter a projeção:
\mathrm{proj}_{v}(u) = 2\,(2,1) = (4,2).

Resposta

A projeção ortogonal de u=(3,4) sobre a reta gerada por v=(2,1) é (4,2).

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