Scja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear dada por T(x, y)=(x-y, y-4 x).
a) (1,0) Determine o polinômio característico de T.
b) (1,5) Calcule os autovalores e autovetores de T.
c) (1,0) Determine uma base que diagonaliza T e escreva a representaçāo matricial de T nesta base.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (x - y,\;y - 4x).
O que precisamos é:
  1. Encontrar o polinômio característico de T.
  2. Calcular autovalores e autovetores de T.
  3. Determinar uma base que diagonalize T e escrever a matriz de T nessa base.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Como
T(1,0) = (1,\,0-4\cdot1) = (1,-4), \quad T(0,1) = (0-1,\,1-0) = (-1,1),
a matriz associada é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico \chi_T(\lambda) é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1\\\\ -4 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - (-1)\cdot(-4) = (1-\lambda)^2 - 4.
Expandindo,
(1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda -3.

Passo 4

Para achar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
logo
\lambda_1 = 3 e \lambda_2 = -1.

Passo 5

Agora encontramos um autovetor para cada autovalor:
Para \lambda_1 = 3, resolvemos (A - 3I)v = 0:
\begin{pmatrix} 1-3 & -1\\\\ -4 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1\\\\ -4 & -2 \end{pmatrix},
a equação -2x - y = 0 y = -2x. Um autovetor é
v_1 = (1,\, -2).
Para \lambda_2 = -1, resolvemos (A + I)v = 0:
\begin{pmatrix} 1+1 & -1\\\\ -4 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ -4 & 2 \end{pmatrix},
a equação 2x - y = 0 y = 2x. Um autovetor é
v_2 = (1,\, 2).

Passo 6

Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes, logo
\{v_1,v_2\} = \{(1,-2),(1,2)\} é uma base de autovetores que diagonaliza T.
Na base \{v_1,v_2\}, a matriz de T é diagonal com entradas os autovalores:
D = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

a) \chi_T(\lambda)=\lambda^2 - 2\lambda - 3.
b) Os autovalores são \lambda_1=3, \lambda_2=-1, com autovetores correspondentes v_1=(1,-2) e v_2=(1,2).
c) Uma base que diagonaliza T é \{(1,-2),(1,2)\} e a matriz de T nessa base é
\begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

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