Scja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear dada por T(x, y)=(x-y, y-4 x).
a) (1,0) Determine o polinômio característico de T.
b) (1,5) Calcule os autovalores e autovetores de T.
c) (1,0) Determine uma base que diagonaliza T e escreva a representaçāo matricial de T nesta base.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (x - y,\;y - 4x).
O que precisamos é:
Encontrar o polinômio característico de T.
Calcular autovalores e autovetores de T.
Determinar uma base que diagonalize T e escrever a matriz de T nessa base.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Como
Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes, logo \{v_1,v_2\} = \{(1,-2),(1,2)\} é uma base de autovetores que diagonaliza T.
Na base \{v_1,v_2\}, a matriz de T é diagonal com entradas os autovalores:
D = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Resposta
a) \chi_T(\lambda)=\lambda^2 - 2\lambda - 3.
b) Os autovalores são \lambda_1=3, \lambda_2=-1, com autovetores correspondentes v_1=(1,-2) e v_2=(1,2).
c) Uma base que diagonaliza T é \{(1,-2),(1,2)\} e a matriz de T nessa base é