(2,0) Determine a projeção ortogonal do vetor w=(1,2,1) sobre o plano gerado pelos vetores u=(1,0,1) e v=(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor w=(1,2,1) sobre o plano gerado por u=(1,0,1) e v=(1,1,-1). Para isso, vamos usar que a projeção de w no plano é
\text{proj}_{\text{plano}}(w)=w-\text{proj}_{n}(w),
onde n é um vetor normal ao plano (ou seja, n=u\times v).

Passo 2

Calculemos o vetor normal
n = u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot(-1)-1\cdot1)-\mathbf{j}(1\cdot(-1)-1\cdot1)+\mathbf{k}(1\cdot1-0\cdot1),
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n = (-1,\,2,\,1).

Passo 3

Agora, a projeção de w em n é dada por
\text{proj}_{n}(w) =\frac{w\cdot n}{n\cdot n}\,n.
Calculemos os produtos:
w\cdot n = (1,2,1)\cdot(-1,2,1) = -1 + 4 + 1 = 4,
n\cdot n = (-1)^2 + 2^2 + 1^2 = 6.
Então
\text{proj}_{n}(w) = \frac{4}{6}\,n = \frac{2}{3}\,(-1,2,1) = \bigl(-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 4

Finalmente, subtraímos essa componente de w para obter a projeção no plano:
\text{proj}_{\text{plano}}(w) = w - \text{proj}_{n}(w) = (1,2,1) - \bigl(-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr) = \Bigl(1+\tfrac{2}{3},\,2-\tfrac{4}{3},\,1-\tfrac{2}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).

Resposta

A projeção ortogonal de w sobre o plano é \bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\bigr).

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