Seja
um espaço vetorial. Um conjunto
chama-se uma variedade afim se
dados
e
com
.
Prove que
.
Prove que
Passo 1
O enunciado define uma variedade afim
como um subconjunto de um espaço vetorial
que satisfaz
Queremos mostrar que, dados
e
com
, vale
O método mais direto é usar princípio de indução em
.
Passo 2
Caso
. Aqui temos apenas um vetor
e
, pois a soma dos
deve ser
. Logo
isto estabelece a base da indução.
Passo 3
Caso
. Temos
e
. Basta tomar
na definição de variedade afim:
Portanto, a propriedade vale para
.
Passo 4
Passo da indução. Suponha que para algum
já temos a propriedade: dadas
e
, então
. Vamos mostrar que vale para
.
Sejam
e
. Defina
Se
, então
e
.
Se , considere o vetor
Se
Como
, pela hipótese de indução temos
. Agora aplique a definição de variedade afim a
e
com
Então
Substituindo
, obtemos
Isso fecha o passo de indução.