Seja E um espaço vetorial. Um conjunto V \subset E chama-se uma variedade afim se
x, y \in V \Rightarrow(1-t) x+t v \in V \quad \text { para } \quad t \in \mathbb{R}
dados v_{1}, \cdots, v_{n} \in V e \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} \in \mathbb{R} com \alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}=1.
Prove que \alpha_{1} v_{1}+\cdot+\alpha_{n} v_{n} \in V.

Passo 1

O enunciado define uma variedade afim V\subset E como um subconjunto de um espaço vetorial E que satisfaz
x,y\in V\quad\Rightarrow\quad (1-t)x + ty \in V \quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que, dados v_{1},\dots,v_{n}\in V e \alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{R} com
\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}=1, vale
\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\in V.
O método mais direto é usar princípio de indução em n.

Passo 2

Caso n=1. Aqui temos apenas um vetor v_{1}\in V e \alpha_{1}=1, pois a soma dos \alpha deve ser 1. Logo
\alpha_{1}v_{1}=1\cdot v_{1}=v_{1}\in V,
isto estabelece a base da indução.

Passo 3

Caso n=2. Temos v_{1},v_{2}\in V e \alpha_{1}+\alpha_{2}=1. Basta tomar t=\alpha_{2} na definição de variedade afim:
(1-t)v_{1} + t\,v_{2} = (1-\alpha_{2})v_{1} + \alpha_{2}v_{2} = \alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2}\in V.
Portanto, a propriedade vale para n=2.

Passo 4

Passo da indução. Suponha que para algum k\ge2 já temos a propriedade: dadas v_{1},\dots,v_{k}\in V e \alpha_{1}+\cdots+\alpha_{k}=1, então
\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}\in V. Vamos mostrar que vale para n=k+1.
Sejam v_{1},\dots,v_{k+1}\in V e \alpha_{1}+\cdots+\alpha_{k+1}=1. Defina
\beta \;=\;\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{k} \;=\;1 - \alpha_{k+1}.
Se \beta=0, então \alpha_{k+1}=1 e
\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k+1}v_{k+1}=v_{k+1}\in V.
Se \beta\neq0, considere o vetor
x \;=\;\frac{\alpha_{1}}{\beta}\,v_{1}+\cdots+\frac{\alpha_{k}}{\beta}\,v_{k}.
Como \frac{\alpha_{1}}{\beta}+\cdots+\frac{\alpha_{k}}{\beta}=1, pela hipótese de indução temos x\in V. Agora aplique a definição de variedade afim a x e v_{k+1} com
t \;=\;\alpha_{k+1}.
Então
(1-t)x + t\,v_{k+1} =\;(1-\alpha_{k+1})\,x + \alpha_{k+1}\,v_{k+1} =\;\beta\,x + \alpha_{k+1}\,v_{k+1}.
Substituindo x, obtemos
\beta\Bigl(\tfrac{\alpha_{1}}{\beta}v_{1}+\cdots+\tfrac{\alpha_{k}}{\beta}v_{k}\Bigr) +\alpha_{k+1}v_{k+1} =\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k+1}v_{k+1}\in V.
Isso fecha o passo de indução.

Resposta

\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\in V.

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