Determine a projeção ortogonal do vetor vec{u} na direção do vetor vec{a}. Determine também a norma de tal projeção (medida algébrica da projeção).
vec{u}=(2,2,3) e vec{a}=(2,3,6).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,2,3) e \vec{a}=(2,3,6) e pede duas coisas: (1) a projeção ortogonal de \vec{u} na direção de \vec{a} (ou seja, o vetor de \vec{u} paralelo a \vec{a}); (2) a norma dessa projeção entendida como a “medida algébrica” (isto é, a componente escalar assinada de \vec{u} na direção de \vec{a}). Essas são as informações e pedidos que vamos usar.

Passo 2

Ideia e fórmula: se quisermos a componente de \vec{u} paralela a \vec{a}, podemos escrever essa componente como \lambda \vec{a} para algum escalar \lambda. A condição de projeção ortogonal é que o erro \vec{u}-\lambda\vec{a} seja ortogonal a \vec{a}. Isso significa que
(\vec{u}-\lambda\vec{a})\cdot\vec{a}=0.
Do produto escalar obtemos a equação para \lambda:
\vec{u}\cdot\vec{a}-\lambda(\vec{a}\cdot\vec{a})=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}.
Portanto a projeção vetorial (projeção ortogonal de \vec{u} sobre a direção de \vec{a}) é
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\;\vec{a}.
Explicando rápido o que é cada coisa: \vec{u}\cdot\vec{a} é o produto escalar (soma dos produtos de componentes), e \vec{a}\cdot\vec{a} é o quadrado da norma de \vec{a}.

Passo 3

Calcule o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{a}. Pela definição,
\vec{u}\cdot\vec{a}=2\cdot2+2\cdot3+3\cdot6.
Fazendo as multiplicações:
\vec{u}\cdot\vec{a}=4+6+18=28.

Passo 4

Calcule \vec{a}\cdot\vec{a} (que é \|\vec{a}\|^2):
\vec{a}\cdot\vec{a}=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49.

Passo 5

Agora calculamos \lambda:
\lambda=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\frac{28}{49}=\frac{4}{7}.
Logo a projeção vetorial é
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\frac{4}{7}\vec{a}=\frac{4}{7}(2,3,6).
Multiplicando componente a componente:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(\frac{8}{7},\frac{12}{7},\frac{24}{7}\right).

Passo 6

Agora a norma da projeção (medida algébrica): primeiro a norma de \vec{a} é
\|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{49}=7.
A componente escalar assinada (medida algébrica) de \vec{u} na direção de \vec{a} é
\operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\|\vec{a}\|}=\frac{28}{7}=4.
Observe que a norma do vetor de projeção (magnitude de \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}) é \left|\operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{u}\right|=4. Como \operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{u} saiu positiva, a medida algébrica é 4.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(\dfrac{8}{7},\dfrac{12}{7},\dfrac{24}{7}\right)
\n
Medida algébrica da projeção (componente escalar): 4

Exercícios relacionados