Determine a projeção ortogonal do vetor vec{u} na direção do vetor vec{a}. Determine também a norma de tal projeção (medida algébrica da projeção). vec{u}=(2,2,3) e vec{a}=(2,3,6).
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,2,3) e \vec{a}=(2,3,6) e pede duas coisas: (1) a projeção ortogonal de \vec{u} na direção de \vec{a} (ou seja, o vetor de \vec{u} paralelo a \vec{a}); (2) a norma dessa projeção entendida como a “medida algébrica” (isto é, a componente escalar assinada de \vec{u} na direção de \vec{a}). Essas são as informações e pedidos que vamos usar.
Passo 2
Ideia e fórmula: se quisermos a componente de \vec{u} paralela a \vec{a}, podemos escrever essa componente como \lambda \vec{a} para algum escalar \lambda. A condição de projeção ortogonal é que o erro \vec{u}-\lambda\vec{a} seja ortogonal a \vec{a}. Isso significa que
(\vec{u}-\lambda\vec{a})\cdot\vec{a}=0.
Do produto escalar obtemos a equação para \lambda:
Explicando rápido o que é cada coisa: \vec{u}\cdot\vec{a} é o produto escalar (soma dos produtos de componentes), e \vec{a}\cdot\vec{a} é o quadrado da norma de \vec{a}.
Passo 3
Calcule o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{a}. Pela definição,
\vec{u}\cdot\vec{a}=2\cdot2+2\cdot3+3\cdot6.
Fazendo as multiplicações:
\vec{u}\cdot\vec{a}=4+6+18=28.
Passo 4
Calcule \vec{a}\cdot\vec{a} (que é \|\vec{a}\|^2):
Observe que a norma do vetor de projeção (magnitude de \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}) é \left|\operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{u}\right|=4. Como \operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{u} saiu positiva, a medida algébrica é 4.
Resposta
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(\dfrac{8}{7},\dfrac{12}{7},\dfrac{24}{7}\right)
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Medida algébrica da projeção (componente escalar): 4