Sejam x e y variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim y=f(x)=a x+b. O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros a e b de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de m dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos a e b de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos m pontos
(x1, y1),(x2, y2), ldots,(xm, ym)
Mostre que a norma ao quadrado do componente de (y1, ldots, ym) perpendicular a u, dada por
|v-Pu v|^2
é igual, a menos do fator 1 / m, ao erro quadrático médio ou variância dos dados yi, ou seja,
sigma^2=(y1-bary)^2+ldots+(ym-bary)^2m

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um conjunto de dados l(xi,yir) para i=1,dots,m e definimos o vetor
v = y1 vdots ym
no espaço R^m. Queremos relacionar a norma ao quadrado do componente de v perpendicular a um vetor u e mostrar que isso coincide, até o fator 1/m, com a variância
sigma^2 = 1msumi=1^m(yi-bar y)^2,
onde bar y = tfrac1msumi=1^m yi.

Passo 2

O método usa projeção ortogonal de v na direção de u. Se
u = 1 vdots1,
a projeção de v sobre u é dada por
Puv ;=; u^Tvu^Tu,u

Passo 3

Calculamos os produtos internos:
u^Tv ;=;sumi=1^myi = m,bar y, u^Tu ;=;sumi=1^m1 = m
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Puv = m,bar ym,u = bar y 1 vdots1 Longrightarrow l(Puvr)i = bar y

Passo 4

O vetor perpendicular é
v-Puv = y1-bar y vdots ym-bar y,
e a sua norma ao quadrado é
l|v-Puvr|^2 = sumi=1^m(yi-bar y)^2

Passo 5

Reconhecemos que
sigma^2 = 1msumi=1^m(yi-bar y)^2
Portanto
l|v-Puvr|^2 = m,sigma^2,
isto é, a norma ao quadrado do componente de v perpendicular a u coincide, até o fator 1/m, com a variância dos yi.

Resposta

l|v-Puvr|^2 = sumi=1^m(yi-bar y)^2 = m,sigma^2

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