Sejam e variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim . O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros e de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos e de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos pontos
Mostre que a norma ao quadrado do componente de perpendicular a , dada por
é igual, a menos do fator , ao erro quadrático médio ou variância dos dados , ou seja,
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um conjunto de dados para e definimos o vetor
no espaço R^m. Queremos relacionar a norma ao quadrado do componente de v perpendicular a um vetor u e mostrar que isso coincide, até o fator 1/m, com a variância
sigma^2 = 1msumi=1^m(yi-bar y)^2,
onde bar y = tfrac1msumi=1^m yi.
Passo 2
O método usa projeção ortogonal de v na direção de u. Se
u = 1 vdots1,
a projeção de v sobre u é dada por
Puv ;=; u^Tvu^Tu,u
Passo 3
Calculamos os produtos internos:
u^Tv ;=;sumi=1^myi = m,bar y, u^Tu ;=;sumi=1^m1 = m
Logo
Puv = m,bar ym,u = bar y 1 vdots1 Longrightarrow l(Puvr)i = bar y
Passo 4
O vetor perpendicular é
v-Puv = y1-bar y vdots ym-bar y,
e a sua norma ao quadrado é
l|v-Puvr|^2 = sumi=1^m(yi-bar y)^2
Passo 5
Reconhecemos que
sigma^2 = 1msumi=1^m(yi-bar y)^2
Portanto
l|v-Puvr|^2 = m,sigma^2,
isto é, a norma ao quadrado do componente de v perpendicular a u coincide, até o fator 1/m, com a variância dos yi.