Determine
e
tais que
onde
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e
tais que
com a condição de que
ou
. As informações dadas são:
Ou seja, dividir o polinômio
pelo polinômio
e obter o quociente
e o resto
.
Passo 2
Vamos recordar o que diz o algoritmo da divisão de polinômios (é como a divisão entre inteiros, mas com graus): para quaisquer
com
existe um único par de polinômios
e
tais que
onde
ou
. Aqui
denota o grau do polinômio
. No nosso caso
, então o resto, se não for zero, deve ser um polinômio de grau 0 (ou seja, uma constante).
Passo 3
Usamos o Teorema do Resto: se um polinômio
é dividido por
, então o resto da divisão é
. Nosso divisor é
, que é
. Portanto o resto é
Calculemos:
Conclusão parcial: o resto é o polinômio constante
. (Breve justificativa do teorema: ao dividir por
o resto tem grau menor que 1, logo é constante
; avaliando a identidade em
obtemos
.)
Passo 4
Agora encontramos o quociente
. Como
é de grau 3 e
de grau 1,
terá grau 2. Vamos usar divisão sintética (método rápido para divisor da forma
). Montamos com o número
e os coeficientes de
, que são
.
Procedimento (linha a linha):
- Trazer o primeiro coeficiente para baixo:
. - Multiplicar por
: . Somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : . Somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : . Somar ao último coeficiente: (resto).
Os coeficientes obtidos para o quociente são, na ordem,
. Logo
e o resto confirmado é
.
Passo 5
Vamos verificar por multiplicação direta que a decomposição está correta. Calculamos
Somando o resto
obtemos
A igualdade confere, então a divisão está correta.
Passo 6
Checagem do requisito sobre graus:
(porque
é constante) e
. Assim
é satisfeita.