Determine q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x) g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{3}-1, g(x)=x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)g(x)+r(x),
com a condição de que r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x). As informações dadas são:
f(x)=x^{3}-1,\qquad g(x)=x+1.
Ou seja, dividir o polinômio f(x) pelo polinômio g(x)=x+1 e obter o quociente q(x) e o resto r(x).

Passo 2

Vamos recordar o que diz o algoritmo da divisão de polinômios (é como a divisão entre inteiros, mas com graus): para quaisquer f(x),g(x) com g(x)\neq 0 existe um único par de polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)g(x)+r(x),
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x). Aqui \partial p(x) denota o grau do polinômio p(x). No nosso caso \partial g(x)=1, então o resto, se não for zero, deve ser um polinômio de grau 0 (ou seja, uma constante).

Passo 3

Usamos o Teorema do Resto: se um polinômio f(x) é dividido por x-a, então o resto da divisão é f(a). Nosso divisor é x+1, que é x-(-1). Portanto o resto é
r(x)=f(-1).
Calculemos:
f(-1)=(-1)^{3}-1=-1-1=-2.
Conclusão parcial: o resto é o polinômio constante r(x)=-2. (Breve justificativa do teorema: ao dividir por x-a o resto tem grau menor que 1, logo é constante r; avaliando a identidade em x=a obtemos f(a)=r.)

Passo 4

Agora encontramos o quociente q(x). Como f é de grau 3 e g de grau 1, q terá grau 2. Vamos usar divisão sintética (método rápido para divisor da forma x-a). Montamos com o número a=-1 e os coeficientes de f(x)=x^{3}+0x^{2}+0x-1, que são 1,0,0,-1.
Procedimento (linha a linha):
  • Trazer o primeiro coeficiente para baixo: 1.
  • Multiplicar por -1: 1\cdot(-1)=-1. Somar ao próximo coeficiente: 0+(-1)=-1.
  • Multiplicar -1 por -1: (-1)\cdot(-1)=1. Somar ao próximo coeficiente: 0+1=1.
  • Multiplicar 1 por -1: 1\cdot(-1)=-1. Somar ao último coeficiente: -1+(-1)=-2 (resto).
Os coeficientes obtidos para o quociente são, na ordem, 1,-1,1. Logo
q(x)=x^{2}-x+1,
e o resto confirmado é r(x)=-2.

Passo 5

Vamos verificar por multiplicação direta que a decomposição está correta. Calculamos
(x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}-x^{2}+x+x^{2}-x+1=x^{3}+1.
Somando o resto -2 obtemos
(x+1)(x^{2}-x+1)+(-2)=x^{3}+1-2=x^{3}-1=f(x).
A igualdade confere, então a divisão está correta.

Passo 6

Checagem do requisito sobre graus: \partial r(x)=0 (porque r(x)=-2 é constante) e \partial g(x)=1. Assim \partial r(x)<\partial g(x) é satisfeita.

Resposta

q(x)=x^{2}-x+1
r(x)=-2

Exercícios relacionados