Determine q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x) g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{4}-2, g(x)=x^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede para escrever f(x) na forma
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x). As informações dadas são:
f(x)=x^{4}-2,
g(x)=x^{2}-2.
De maneira explícita: precisamos encontrar os polinômios q(x) e r(x) (com coeficientes em \mathbb{R}) tal que a igualdade acima seja verdadeira e o grau de r seja menor que o grau de g (ou r seja o polinômio nulo).

Passo 2

Conceito que vamos usar (revisão cuidadosa): o Algoritmo da Divisão de Polinômios diz que, dados polinômios f(x) e g(x)\neq 0, existem polinômios únicos q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x),
onde ou r(x)=0 ou \deg r(x)<\deg g(x). Aqui \deg p significa o grau do polinômio p, isto é, o maior expoente de x com coeficiente diferente de zero. No nosso caso \deg f=4 e \deg g=2. A ideia prática: dividir termo a termo os maiores termos (como na divisão longa), encontrando primeiro o termo líder de q(x), multiplicando e subtraindo, repetindo até que o resto tenha grau menor que \deg g.

Passo 3

Primeiro passo da divisão: comparar os termos de maior grau.
O termo de maior grau de f é x^{4}. O termo de maior grau de g é x^{2}. Dividimos estes termos para obter o primeiro termo do quociente:
\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}.
Portanto o primeiro termo de q(x) é x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos g(x) por esse termo x^{2} e subtraímos de f(x).
Calculemos a multiplicação:
(x^{2}-2)\cdot x^{2}=x^{4}-2x^{2}.
Agora subtraímos esse produto de f(x):
f(x)-\big((x^{2}-2)\cdot x^{2}\big)=(x^{4}-2)-(x^{4}-2x^{2}).
Fazendo a subtração termo a termo (atenção para os sinais):
(x^{4}-2)-(x^{4}-2x^{2})=x^{4}-2-x^{4}+2x^{2}=2x^{2}-2.
Esse é o resto parcial após o primeiro passo da divisão.

Passo 5

Agora repetimos o processo com o novo polinômio resto 2x^{2}-2. Pegamos o termo de maior grau do resto, que é 2x^{2}, e dividimos pelo termo de maior grau de g, que é x^{2}:
\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2.
Logo adicionamos +2 ao quociente. Até agora temos
q(x)=x^{2}+2.

Passo 6

Multiplicamos g(x) por 2 e subtraímos do resto atual:
(x^{2}-2)\cdot 2 =2x^{2}-4.
Subtraindo do resto 2x^{2}-2:
(2x^{2}-2)-(2x^{2}-4)=2x^{2}-2-2x^{2}+4=2.
Então o novo resto é o polinômio constante 2.

Passo 7

Verificamos a condição do resto: o resto encontrado é r(x)=2, cujo grau é \deg r=0. Como \deg g=2, temos \deg r<\deg g, portanto a divisão termina aqui e os polinômios obtidos são válidos.

Passo 8

Fazemos uma verificação final multiplicando e somando para garantir que voltamos a f(x):
(q(x)\,g(x))+r(x) = (x^{2}+2)(x^{2}-2)+2.
Expandindo:
(x^{2}+2)(x^{2}-2)=x^{4}-2x^{2}+2x^{2}-4=x^{4}-4.
Somando o resto:
x^{4}-4+2=x^{4}-2,
que é exatamente f(x). Tudo confere.

Resposta

\,q(x)=x^{2}+2
\,r(x)=2

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