Determine
e
tais que
onde
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
na forma
onde
ou
. As informações dadas são:
De maneira explícita: precisamos encontrar os polinômios
e
(com coeficientes em
) tal que a igualdade acima seja verdadeira e o grau de
seja menor que o grau de
(ou
seja o polinômio nulo).
Passo 2
Conceito que vamos usar (revisão cuidadosa): o Algoritmo da Divisão de Polinômios diz que, dados polinômios
e
, existem polinômios únicos
e
tais que
onde ou
ou
. Aqui
significa o grau do polinômio
, isto é, o maior expoente de
com coeficiente diferente de zero. No nosso caso
e
. A ideia prática: dividir termo a termo os maiores termos (como na divisão longa), encontrando primeiro o termo líder de
, multiplicando e subtraindo, repetindo até que o resto tenha grau menor que
.
Passo 3
Primeiro passo da divisão: comparar os termos de maior grau.
O termo de maior grau de é
. O termo de maior grau de
é
. Dividimos estes termos para obter o primeiro termo do quociente:
O termo de maior grau de
Portanto o primeiro termo de
é
.
Passo 4
Multiplicamos
por esse termo
e subtraímos de
.
Calculemos a multiplicação:
Calculemos a multiplicação:
Agora subtraímos esse produto de
:
Fazendo a subtração termo a termo (atenção para os sinais):
Esse é o resto parcial após o primeiro passo da divisão.
Passo 5
Agora repetimos o processo com o novo polinômio resto
. Pegamos o termo de maior grau do resto, que é
, e dividimos pelo termo de maior grau de
, que é
:
Logo adicionamos
ao quociente. Até agora temos
Passo 6
Multiplicamos
por
e subtraímos do resto atual:
Subtraindo do resto
:
Então o novo resto é o polinômio constante
.
Passo 7
Verificamos a condição do resto: o resto encontrado é
, cujo grau é
. Como
, temos
, portanto a divisão termina aqui e os polinômios obtidos são válidos.
Passo 8
Fazemos uma verificação final multiplicando e somando para garantir que voltamos a
:
Expandindo:
Somando o resto:
que é exatamente
. Tudo confere.