Determine
e
tais que
onde
ou
e
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar polinômios
e
tais que
com a condição de que
ou
. Os polinômios dados são
e
Lista das informações relevantes que temos:
,
. A constante
é a raiz cúbica real de
; chamo-a aqui de
para facilitar a escrita.
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática):
- Algoritmo da divisão de polinômios: dados
com , existem únicos tais que e ou ou . Aqui significa o grau do polinômio . - Quando
(ou seja, é linear), a condição implica que é um polinômio de grau menor que , isto é, uma constante (ou zero). - Teorema do resto / fator: se
, então o resto da divisão de por é . Em particular, se então divide (resto zero).
Vou usar esses conceitos para analisar nosso caso com
, onde
.
Passo 3
Calculo do resto usando o teorema do resto: o resto da divisão de
por
é
. Vamos calcular
Mas por definição de
temos
. Logo
Como
, o resto é
. Portanto
e a divisão é exata:
é um fator de
.
Passo 4
Agora precisamos obter explicitamente o quociente
. Usamos a fatoração famosa da diferença de cubos:
Breve verificação dessa identidade (para entender e saber aplicar na prova): multiplica-se o fator da direita:
os termos intermediários cancelam. A identidade vale para qualquer número real
.
No nosso problema tomamos
. Como
, podemos escrever
Portanto a divisão dá exatamente esse produto, e o quociente é
Passo 5
Verificação final (para ter certeza e poder justificar na prova): multiplico
por
:
que é exatamente
. Como o resto é zero, temos a decomposição buscada.