Determine q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x) g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{3}-2, g(x)=x-\sqrt[3]{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x),
com a condição de que r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x). Os polinômios dados são
f(x)=x^{3}-2
e
g(x)=x-\sqrt[3]{2}.
Lista das informações relevantes que temos: \partial f(x)=3, \partial g(x)=1. A constante \sqrt[3]{2} é a raiz cúbica real de 2; chamo-a aqui de \displaystyle c=\sqrt[3]{2} para facilitar a escrita.

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática):
  • Algoritmo da divisão de polinômios: dados f,g\in\mathbb{R}[x] com g\neq0, existem únicos q,r\in\mathbb{R}[x] tais que f=qg+r e ou r=0 ou \partial r<\partial g. Aqui \partial h significa o grau do polinômio h.
  • Quando \partial g=1 (ou seja, g é linear), a condição \partial r<\partial g implica que r é um polinômio de grau menor que 1, isto é, uma constante (ou zero).
  • Teorema do resto / fator: se g(x)=x-a, então o resto da divisão de f(x) por x-a é f(a). Em particular, se f(a)=0 então x-a divide f (resto zero).
Vou usar esses conceitos para analisar nosso caso com g(x)=x-c, onde c=\sqrt[3]{2}.

Passo 3

Calculo do resto usando o teorema do resto: o resto da divisão de f por x-c é f\text{(c)}. Vamos calcular
f\text{(c)}=c^{3}-2.
Mas por definição de c temos c^{3}=2. Logo
f\text{(c)}=2-2=0.
Como f\text{(c)}=0, o resto é 0. Portanto r(x)=0 e a divisão é exata: x-c é um fator de f(x).

Passo 4

Agora precisamos obter explicitamente o quociente q(x). Usamos a fatoração famosa da diferença de cubos:
x^{3}-a^{3}=(x-a)\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr).
Breve verificação dessa identidade (para entender e saber aplicar na prova): multiplica-se o fator da direita:
(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})=x^{3}+ax^{2}+a^{2}x-ax^{2}-a^{2}x-a^{3}=x^{3}-a^{3},
os termos intermediários cancelam. A identidade vale para qualquer número real a.
No nosso problema tomamos a=c=\sqrt[3]{2}. Como c^{3}=2, podemos escrever
x^{3}-2=x^{3}-c^{3}=(x-c)\bigl(x^{2}+cx+c^{2}\bigr).
Portanto a divisão dá exatamente esse produto, e o quociente é
q(x)=x^{2}+cx+c^{2}.

Passo 5

Verificação final (para ter certeza e poder justificar na prova): multiplico q(x) por g(x):
(x-c)\bigl(x^{2}+cx+c^{2}\bigr)=x^{3}-c^{3}=x^{3}-2,
que é exatamente f(x). Como o resto é zero, temos a decomposição buscada.

Resposta

q(x)=x^{2}+\sqrt[3]{2}\,x+\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^{2}
r(x)=0

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