Sejam K, L corpos. Uma função f: K \rightarrow L chama-se homomorfismo quando se tem f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x . y)=f(x) . f(y) quaisquer que sejam x, y \in K.
a) Dado um homomorfismo f: K \rightarrow L, prove que f(0)=0.
b) Prove também que, ou f(x)=0 para todo x \in K ou então, f(1)=1 e f é injetivo.

Passo 1

O enunciado dá dois corpos (campos) K e L e uma função f: K \to L que satisfaz, para quaisquer x,y\in K,
f(x+y)=f(x)+f(y)
e
f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y).
As perguntas são:
  1. Mostrar que f(0)=0.
  2. Mostrar que ou f(x)=0 para todo x\in K (isto é, f é a função zero) ou então f(1)=1 e f é injetiva.

Passo 2

Prova da parte (a): queremos mostrar que f(0)=0. Começo usando a propriedade aditiva do homomorfismo com x=0 e y=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0).
Esta é uma igualdade em L. Em qualquer corpo L existe a operação de soma e o elemento oposto (aditivo) de cada elemento. Subtraindo f(0) dos dois lados (ou, formalmente, somando -f(0) aos dois lados) obtemos
f(0)-f(0)=f(0)+f(0)-f(0).
O lado esquerdo é 0 (o elemento neutro aditivo de L) e o lado direito é f(0). Logo
0=f(0).
Portanto, f(0)=0, que era o que queríamos provar.

Passo 3

Interpretação inicial para a parte (b): há duas possibilidades lógica naturais — ou f é a aplicação zero (ou seja, f(x)=0 para todo x\in K), ou existe algum elemento a\in K com f(a)\neq 0. Vou tratar cada caso e mostrar que, no segundo caso, necessariamente f(1)=1 e f é injetiva.

Passo 4

Caso 1: f é a aplicação zero. Isto significa que para todo x\in K temos f(x)=0. Nesse caso a alternativa "ou f(x)=0 para todo x\in K" já é verdadeira e não há mais nada a provar para este ramo.

Passo 5

Caso 2: existe a\in K tal que f(a)\neq 0. Vou primeiro provar que então f(1)=1. Use a propriedade multiplicativa com 1 e a:
f(1\cdot a)=f(1)\cdot f(a).
Como 1\cdot a=a, o lado esquerdo é f(a). Portanto
f(a)=f(1)\cdot f(a).
Agora, em L o elemento f(a) é não nulo por hipótese, então tem inverso multiplicativo f(a)^{-1}. Multiplicando a igualdade acima à direita por f(a)^{-1} obtemos
f(a)\cdot f(a)^{-1}=f(1)\cdot f(a)\cdot f(a)^{-1}.
O lado esquerdo é 1 e o produto f(a)\cdot f(a)^{-1} do lado direito anula-se para 1 também, ficando
1=f(1).
Portanto f(1)=1.

Passo 6

Provar agora que f é injetiva no caso em que existe a com f(a)\neq 0. Lembrando que uma função é injetiva quando f(x)=f(y) implica x=y. Seja x,y\in K tais que f(x)=f(y). Então
f(x)-f(y)=0,
isto é,
f(x-y)=0,
pois pela propriedade aditiva f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y). Vou mostrar que isso força x-y=0.
Suponha, por contradição, que z:=x-y\neq 0. Então z é invertível em K (todo elemento não nulo de um corpo tem inverso multiplicativo z^{-1}). Aplicando f a z\cdot z^{-1}=1 e usando propriedades do homomorfismo:
1=f(1)=f(z\cdot z^{-1})=f(z)\cdot f(z^{-1}).
Mas f(z)=f(x-y)=0 pela hipótese, então o produto f(z)\cdot f(z^{-1}) seria 0, e isso contradiz a igualdade anterior 1= f(z)\cdot f(z^{-1}). Logo a suposição z\neq 0 é impossível. Portanto z=0, ou seja x-y=0 e assim x=y. Isso prova que f é injetiva.
(Outra forma direta, equivalente: qualquer z com f(z)=0 deve ser 0, pois se z\neq 0 então f(1)=f(z z^{-1})=f(z)f(z^{-1})=0, contradizendo f(1)=1. Assim o núcleo de f é \{0\} e f é injetiva.)

Passo 7

Conclusão da parte (b): juntando os dois casos anteriores temos exatamente as duas alternativas pedidas: ou f é a aplicação zero (tudo vai para 0 em L) ou existe a com f(a)\neq 0, o que implica f(1)=1 e, como mostramos, f é injetiva.

Resposta

f(0)=0
ou f(x)=0 para todo x\in K \
ou f(1)=1 e f é injetiva

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