Sejam K, L corpos. Uma função
chama-se homomorfismo quando se tem
e
quaisquer que sejam
.
a) Dado um homomorfismo
, prove que
.
b) Prove também que, ou
para todo
ou então,
e
é injetivo.
a) Dado um homomorfismo
b) Prove também que, ou
Passo 1
O enunciado dá dois corpos (campos)
e
e uma função
que satisfaz, para quaisquer
,
e
As perguntas são:
- Mostrar que
. - Mostrar que ou
para todo (isto é, é a função zero) ou então e é injetiva.
Passo 2
Prova da parte (a): queremos mostrar que
. Começo usando a propriedade aditiva do homomorfismo com
e
:
Esta é uma igualdade em
. Em qualquer corpo
existe a operação de soma e o elemento oposto (aditivo) de cada elemento. Subtraindo
dos dois lados (ou, formalmente, somando
aos dois lados) obtemos
O lado esquerdo é
(o elemento neutro aditivo de
) e o lado direito é
. Logo
Portanto,
, que era o que queríamos provar.
Passo 3
Interpretação inicial para a parte (b): há duas possibilidades lógica naturais — ou
é a aplicação zero (ou seja,
para todo
), ou existe algum elemento
com
. Vou tratar cada caso e mostrar que, no segundo caso, necessariamente
e
é injetiva.
Passo 4
Caso 1:
é a aplicação zero. Isto significa que para todo
temos
. Nesse caso a alternativa "ou
para todo
" já é verdadeira e não há mais nada a provar para este ramo.
Passo 5
Caso 2: existe
tal que
. Vou primeiro provar que então
. Use a propriedade multiplicativa com
e
:
Como
, o lado esquerdo é
. Portanto
Agora, em
o elemento
é não nulo por hipótese, então tem inverso multiplicativo
. Multiplicando a igualdade acima à direita por
obtemos
O lado esquerdo é
e o produto
do lado direito anula-se para
também, ficando
Portanto
.
Passo 6
Provar agora que
é injetiva no caso em que existe
com
. Lembrando que uma função é injetiva quando
implica
. Seja
tais que
. Então
isto é,
pois pela propriedade aditiva
. Vou mostrar que isso força
.
Suponha, por contradição, que
. Então
é invertível em
(todo elemento não nulo de um corpo tem inverso multiplicativo
). Aplicando
a
e usando propriedades do homomorfismo:
Mas
pela hipótese, então o produto
seria
, e isso contradiz a igualdade anterior
. Logo a suposição
é impossível. Portanto
, ou seja
e assim
. Isso prova que
é injetiva.
(Outra forma direta, equivalente: qualquer
com
deve ser
, pois se
então
, contradizendo
. Assim o núcleo de
é
e
é injetiva.)
Passo 7
Conclusão da parte (b): juntando os dois casos anteriores temos exatamente as duas alternativas pedidas: ou
é a aplicação zero (tudo vai para
em
) ou existe
com
, o que implica
e, como mostramos,
é injetiva.
Resposta
ou
ou