Determine:
\quad \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) e \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right).
  • Determinar \operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{6}\right).
Informações dadas:
  • O ângulo a avaliar é -\dfrac{\pi}{6} (radianos).

Passo 2

Converter para graus (para intuição): \pi rad = 180^\circ, logo
\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{180^\circ}{6} = 30^\circ.
Portanto -\dfrac{\pi}{6} = -30^\circ. Isso ajuda a lembrar os valores bem conhecidos de seno e cosseno para 30^\circ.

Passo 3

Propriedades de paridade (muito úteis para ângulos negativos):
  • A função cosseno é par: para todo \theta,
\cos(-\theta)=\cos\theta.
Intuição: no círculo unitário, refletir um ponto em torno do eixo x não muda a abscissa (cosseno).
  • A função seno é ímpar: para todo \theta,
\operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta.
Intuição: refletir em torno do eixo x troca o sinal da ordenada (seno).

Passo 4

Valores conhecidos para \dfrac{\pi}{6} (triângulo especial 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ):
  • As razões dos lados são 1:\sqrt{3}:2, com hipotenusa 2, lado oposto a 30^\circ igual a 1 e lado adjacente a 30^\circ igual a \sqrt{3}.
  • Portanto
\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando as propriedades de paridade do Passo 3 aos valores do Passo 4:
  • Para o cosseno,
\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para o seno,
\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida por quadrante: -30^\circ está no quarto quadrante, onde o cosseno é positivo e o seno é negativo — condiz com os resultados acima. Boa conferida!

Resposta

\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados