A partir de \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) e \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) calculados na questão anterior, calcule os seguintes valores:
(a) \quad \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)
(b) \quad \operatorname{cossec}\left(\frac{\pi}{3}\right)
(c) \quad \operatorname{sec} \left(\frac{\pi}{3}\right)
(d) \quad \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede que, a partir dos valores já calculados de \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) e \cos\left(\frac{\pi}{3}\right), calculemos:
(a) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)
(b) \operatorname{cossec}\left(\frac{\pi}{3}\right)
(c) \operatorname{sec}\left(\frac{\pi}{3}\right)
(d) \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{3}\right)
As informações que temos (pegaram-se da questão anterior) são:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 2

Definição útil 1: a tangente é a razão entre seno e cosseno. Formalmente,
\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.
Aplicando em x=\dfrac{\pi}{3}, substituímos os valores conhecidos:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}.
Dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco, logo
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{1}=\sqrt{3}.
Então \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}. (Boa! É um resultado clássico.)

Passo 3

Definição útil 2: a cossecante (cosecante) é o recíproco do seno:
\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}.
Para x=\dfrac{\pi}{3},
\operatorname{cossec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
É comum racionalizar o denominador (para deixar sem raiz no denominador). Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3},
\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Assim, \operatorname{cossec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Definição útil 3: a secante é o recíproco do cosseno:
\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}.
Para x=\dfrac{\pi}{3},
\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\dfrac{1}{2}}=2.
Pronto: \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2.

Passo 5

Definição útil 4: a cotangente é o recíproco da tangente, ou também a razão cosseno sobre seno:
\operatorname{cotg}(x)=\frac{1}{\operatorname{tg}(x)}=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
Usando a segunda forma e substituindo os valores:
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Também dá para checar usando \operatorname{cotg}=\dfrac{1}{\operatorname{tg}} e \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}, então \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Resumo rápido do que fizemos e dicas para a prova:
  • Use as definições recíprocas quando pedirem sec, cossec, cotg.
  • Para tg e cotg prefira a relação seno/cosseno ou cosseno/seno; é direto e evita cálculos extras.
  • Racionalizar o denominador é uma etapa de apresentação (nem sempre obrigatória), mas boa prática em provas.

Resposta

(a) \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}
(b) \operatorname{cossec}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
(c) \operatorname{sec}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2
(d) \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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