Determine quantos inteiros 1 <= n <= 2019 são tais que 7^n+2^n é divisível por 9.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos contar quantos inteiros n em 1<= n<=2019 satisfazem
9mid 7^n + 2^n
Conteúdo: vamos usar aritmética modular (módulo 9) e analisar o comportamento de potências.

Passo 2

Observamos que
7equiv -2pmod9,
então
7^n + 2^n equiv (-2)^n + 2^n pmod9

Passo 3

Analisando os casos de n par e ímpar:
  • Se n é ímpar, então (-2)^n = -(2^n) e
    (-2)^n + 2^n = -2^n + 2^n = 0,
    logo 7^n+2^nequiv0pmod9.
  • Se n é par, então (-2)^n = 2^n e
    (-2)^n + 2^n = 2^n + 2^n = 2^n+1
    Como gcd(2,9)=1, nunca teremos 2^n+1equiv0pmod9.
Portanto, 7^n+2^n é múltiplo de 9 exatamente quando n é ímpar.

Passo 4

Basta contar quantos ímpares há entre 1 e 2019. Como o primeiro ímpar é 1, o último é 2019 e há tfrac2019+12 ímpares, temos
2019+12 = 1010

Resposta

1010 integers.

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