Se p é um primo e a^2 equiv b^2(bmod p), mostre que a equiv pm b(bmod p).

Passo 1

O enunciado diz que p é um primo e que
a^2 equiv b^2 pmodp
Isso significa que p divide a diferença a^2-b^2. Para resolver, vamos usar o fato de que, em Z, se um primo divide um produto então ele divide pelo menos um dos fatores (lema de Euclides).

Passo 2

Como a^2equiv b^2pmodp, temos
p mid l(a^2-b^2r)
Mas observe que
a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
Logo
p mid (a-b)(a+b)

Passo 3

Pelo lema de Euclides, se p é primo e p divide o produto (a-b)(a+b), então p divide um dos fatores. Ou seja,
ou pmid(a-b)ou pmid(a+b)
Isto equivale a dizer
aequiv bpmodp ou aequiv -bpmodp

Resposta

aequiv pm bpmodp

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