Seja A, B inteiros positivos tais que A é invertível módulo B e seja A0 um inverso para A.
(b) Mostre que o número y=A A0-1B é inteiro e -y é um inverso de B módulo A.

Passo 1

O enunciado diz que A,B são inteiros positivos e que A é invertível módulo B. Isso significa que existe algum inteiro A0 tal que
A,A0equiv 1pmodB
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. O número
y = A,A0-1B
é um inteiro.
2. O número -y é um inverso de B módulo A, ou seja,
Bcdot(-y)equiv 1pmodA

Passo 2

Como A,A0equiv 1pmodB, pela definição de congruência existe um inteiro y tal que
A,A0-1 = B,y
Daí segue imediatamente que
y = A,A0-1B
é inteiro, pois expressamos A,A0-1 como múltiplo de B.

Passo 3

Agora mostremos que -y é inverso de B módulo A. Começamos calculando o produto
Bcdot(-y) = -,B,y
Mas de B,y = A,A0-1 temos
-,B,y = -(A,A0-1) = 1 - A,A0
Então
Bcdot(-y) = 1 - A,A0
Como A,A0 é múltiplo de A, segue que
1 - A,A0 equiv 1 pmodA,
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Bcdot(-y)equiv 1pmodA
Isto mostra que -y é de fato o inverso de B módulo A.

Resposta

O número
y = A,A0-1B
é inteiro e -y é inverso de B módulo A.

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