Determine quatro números em progressão aritmética conhecendo sua soma 26 e a soma de seus quadrados 214.

Passo 1

O enunciado pede quatro números em progressão aritmética cuja soma é \,26 e a soma dos quadrados é \,214. Para resolver, vamos usar a forma simétrica dos termos de uma PA e as fórmulas de soma de termos e soma de quadrados.

Passo 2

Sejam os quatro termos
a - 3d,\quad a - d,\quad a + d,\quad a + 3d,
onde a é o termo central e d a razão. A soma desses quatro termos é
(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=4a.
Como essa soma vale \,26, temos
4a = 26 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{26}{4} = 6,5.

Passo 3

Agora calculamos a soma dos quadrados:
(a-3d)^2+(a-d)^2+(a+d)^2+(a+3d)^2 =4a^2 + 20d^2.
Como isso deve ser igual a \,214, substituímos a=6,5:
4\,(6,5)^2 + 20d^2 = 214 \quad\Longrightarrow\quad 4\cdot42,25 + 20d^2 = 214 \quad\Longrightarrow\quad 169 + 20d^2 = 214
20d^2 = 214 - 169 = 45 \quad\Longrightarrow\quad d^2 = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad d = \pm\frac{3}{2}.

Passo 4

Escolhendo d = \tfrac{3}{2}, os termos são
a-3d = 6,5 - 4,5 = 2,\quad a-d = 6,5 - 1,5 = 5,\quad a+d = 6,5 + 1,5 = 8,\quad a+3d = 6,5 + 4,5 = 11.
Se d=-\tfrac{3}{2}, obtemos os mesmos números em ordem decrescente. Portanto, em ordem crescente os quatro termos da PA são 2,5,8,11.

Resposta

Os quatro números em progressão aritmética são
2,\;5,\;8,\;11.

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