A sequência (8 x, 5 x-3, x+3, x) é uma progressão geométrica, de termos positivos. Qual é a razão dessa progressão ?

Passo 1

O enunciado diz que a sequência (8x,5x-3,x+3,x) é uma PG de termos positivos e quer saber a razão r. Em PG a gente lembra que cada termo dividido pelo anterior é igual a r.

Passo 2

Então escrevemos
r = \frac{5x-3}{8x}
e
r = \frac{x}{x+3}.
Como as duas expressões valem r, a gente iguala
\frac{5x-3}{8x} = \frac{x}{x+3}.

Passo 3

Agora basta resolver essa equação:
(5x-3)(x+3) = 8x^2.
Desenvolvendo dá
5x^2 + 12x - 9 = 8x^2
e simplifica para
3x^2 - 12x + 9 = 0
e, dividindo por 3,
x^2 - 4x + 3 = 0.

Passo 4

Fatorando x^2 - 4x + 3 achamos (x-1)(x-3)=0, então x=1 ou x=3. Mas testando x=1 a sequência não forma PG de termos positivos, então a gente fica com x=3.

Passo 5

Com x=3, a razão é
r = \frac{5x-3}{8x} = \frac{15-3}{24} = \frac{12}{24} = \frac12.

Resposta

A razão da progressão geométrica é \tfrac12.

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