As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão
. Se o perímetro do triângulo é 24, determine as medidas dos lados do triângulo.
Passo 1
O enunciado diz que os três lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética de razão
e que o perímetro vale 24. Para resolver, vamos usar duas ideias principais: como escrever três termos em P.A.\ e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Sejam os lados, em ordem crescente,
onde
é a razão da P.A. e
o termo médio.
Passo 3
O perímetro é a soma dos três lados, ou seja,
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Passo 4
Como o triângulo é retângulo, os dois menores lados satisfazem
Substituindo
:
Expandindo e simplificando:
Passo 5
Agora que
e
, os comprimentos dos lados são
Resposta
Os lados medem
,
e
.