As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão r. Se o perímetro do triângulo é 24, determine as medidas dos lados do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que os três lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética de razão r e que o perímetro vale 24. Para resolver, vamos usar duas ideias principais: como escrever três termos em P.A.\ e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Sejam os lados, em ordem crescente,
b - r,\quad b,\quad b + r,
onde r é a razão da P.A. e b o termo médio.

Passo 3

O perímetro é a soma dos três lados, ou seja,
(b - r) + b + (b + r) = 24.
Os termos -r e +r se cancelam, sobrando
3b = 24 \quad\Longrightarrow\quad b = 8.

Passo 4

Como o triângulo é retângulo, os dois menores lados satisfazem
(b - r)^2 + b^2 = (b + r)^2.
Substituindo b=8:
(8 - r)^2 + 8^2 = (8 + r)^2.
Expandindo e simplificando:
64 - 16r + r^2 + 64 = 64 + 16r + r^2 \quad\Longrightarrow\quad 128 - 16r = 64 + 16r \quad\Longrightarrow\quad 64 = 32r \quad\Longrightarrow\quad r = 2.

Passo 5

Agora que b=8 e r=2, os comprimentos dos lados são
8 - 2 = 6,\quad 8,\quad 8 + 2 = 10.

Resposta

Os lados medem 6, 8 e 10.

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